Gradient morfològic

En la morfologia matemàtica i el processament digital d'imàgens, el gradient morfològic és la diferència entre la dilatació i l' erosió d'una image donada. Esta és una image en la que cada valor de píxel (per lo general no negatiu) indica l'intensitat de contrast en el veïnat d'eixe píxel. Esta és útil en les aplicacions de detecció de vores i de segmentación.

Definició matemàtica i tipos

Siga $f:E\mapsto R$ una image en escala de grises, que mapea punts d'un espai euclidiano o d'una cuadrícula discreta I (tal com R² o Z²) en la recta real. Siga $b(x)$ un element estructurante. Usualment, b és simètric i té short-support, per eixemple,

$b(x)=\{\begin{array}{cc}0,& |x|\le 1,\\ -\mathrm{\infty },& \text{en otro caso}\end{array}$.

Llavors, el gradient morfològic de f està donat per:

$G(f)=f\oplus b-f\ominus b$,

a on $\oplus$ i $\ominus$ denoten la dilatació i l'erosió, respectivament.

Un gradient intern està donat per:

$G_i(f)=f-f\ominus b$,

i un gradient extern està donat per:

$G_e(f)=f\oplus b-f$.

Els gradient intern i extern són "més prims" que el gradient, pero els picos del gradient es troben sobre les vores, mentres que els picos del gradient intern i de l'extern es troben a cada costat d'estos. Note que $G_i+G_e=G$.

Si $b(0)\ge 0$, llavors els tres gradient tenen valors no negatius en tots els píxels.

Referències

• Image Analysis and Mathematical Morphology by Jean Serra, ISBN 0126372403 (1982)
• Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances by Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
• An Introduction to Morphological Image Processing by Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)