Morfologia matemàtica

Una forma (en blava) i la seua dilatació (en vert) i erosió (en groc) morfològica per un element estructurante en forma de diamant.

La morfologia matemàtica és una teoria i tècnica per a l'anàlisis i tractament de les estructures geomètriques, basada en la teoria de conjunts, teoria de retículs, topología i funciones aleatòries. La morfologia matemàtica és comunament aplicada més a les imàgens digitals, pero pot ser amprada també en gràfics, malles poligonales, sòlits i moltes atres estructures espacials.

Conceptes topològics i geomètrics d'espai continu, tals com tamany, forma, convexidad , conectivitat i distància geodèsica, es poden caracterisar per la morfologia matemàtica en espais continus i discrets. La morfologia matemàtica és també la base del processament d'imàgens morfològiques, que consistix en un conjunt d'operadors que transformen les imàgens d'acort a les caracterisació anteriors.

La morfologia matemàtica es va desenrollar originalment para imàgens binarias i es va estendre més vesprada a funcions i imàgens en escala de grises. La generalisació posterior a retículs complets és àmpliament acceptada hui en dia com a fonament teòric de la morfologia matemàtica.

Història

La morfologia matemàtica va nàixer en 1964 de la colaboració de Georges Matheron i Jean Serra en la École dones Mines de Paris, França. Matheron va supervisar la tesis de PhD de Serra, dedicada a la quantificació de les característiques minerals d'una secció prima de la mina de la Mourière, i este treball va donar lloc a un nou enfocament pràctic aixina com alvanços teòrics en geometria integral i topología.

En 1968, el Centre de Morphologie Mathématique va ser fundat per la École dones Mines de Paris en Fontainebleau, França, liderat per Matheron i Serra.

Durant el restant de la década de 1960 i la major part de la década de 1970, la morfologia matemàtica va tractar essencialment en imàgens binarias, tractades com conjunts, i va generar un gran número d'operadors binarios i tècniques: Transformació de localisació, dilatació, erosió, obertura, tancament, granulometría, adelgazamiento, càlcul de l'esquelet, erosió final, bisectriz condicional, entre uns atres. Un enfocament a l'encert també es va desenrollar a partir de nous models d'imàgens. La major part del treball en eixe periodo es va desenrollar en Fontainebleau.

Des de mediats de la década de 1970 fins a mediats de la década de 1980, la morfologia matemàtica es va generalisar també a funcions i imàgens en l'escala de grises. Ademés d'ampliar els conceptes principals (tals com la dilatació, erosió, etc.) a les funcions, esta generalisació va donar nous operadors, tals com el gradient morfològic, transformació capell de copa i divisòria (watershed) (enfocament principal de segmentación de la morfologia matemàtica).

En les décades dels anys 1980 i 1990, la morfologia matemàtica va guanyar un ampli reconeiximent ya que centres d'investigació en varis països varen començar a adoptar i investigar el método. La morfologia matemàtica va començar a aplicar-se a un gran número de problemes i aplicacions d'imàgens.

En 1986 Jean Serra va generalisar encara més la morfologia matemàtica, esta volta en un marc teòric basat en retículs complets. Esta generalisació va dur flexibilitat a la teoria, permetent la seua aplicació a un número molt major d'estructures, incloent imàgens en color, vídeo, gràfics, meshes, etc. Al mateix temps, Matheron i Serra també varen formular una teoria per a filtrat morfològic basat en el nou marc (retículs).

En les décades dels anys 1990 i 2000 també es varen registrar més alvanços teòrics, incloent els conceptes de conexions i nivellació.

En 1993, el primer International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM) va tindre lloc en Barcelona, Espanya. Des de llavors, els ISMM s'organisen cada 2 o 3 anys, casi sempre en una part diferent del món: Fontainebleau, França (1994); Atlanta, Estats Units (1996); Ámsterdam, Països Baixos (1998); Pal Alt, Califòrnia, Estats Units (2000); Sídney, Austràlia (2002); París, França (2004); Riu de Janeiro, Brasil (2007); Groninga, Països Baixos (2009); i Intra (Verbania), Itàlia (2011); Uppsala, Sweden (2013); Reykjavik, Iceland (2015); i Fontainebleau, França (2017).

Referències

"Introduction" per Pierre Soille, en (Serra et al. (Eds.) 1994), pág. 1-4.
"Appendix A: The 'Centre de Morphologie Mathématique', an overview" per Jean Serra, en (Serra et al. (Eds.) 1994), págs. 369-374.
"Foreword" en (Ronse et al. (Eds.) 2005)

Morfologia binaria

En morfologia binaria una image és vista com un subconjunt d'un espai Euclideo $ℝ^{d}$ o de la cuadrícula sancera $ℤ^{d}$ , per a alguna dimensió d.

Element estructurante

L'idea bàsica en la morfologia binaria és provar una image en una forma predefinida simple traent conclusions sobre cóm esta forma encaixa o no les formes en l'image. Esta simple "sonda" es diu element estructurante, i és en sí mateixa una image binaria (és dir, un subconjunt de l'espai o de la cuadrícula).

Estos són alguns eixemples d'elements estructurantes àmpliament utilisats (denotats per B):

Siga $E = ℝ^{2}$ ; B és un disc obert de ràdio r, centrat en l'orige.
Siga $E = ℤ^{2}$ ; B és un quadrat 3x3, açò és, B={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}.
Siga $E = ℤ^{2}$ ; B és la "creu" donada per: B={(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.

Operadors bàsics

Les operacions bàsiques són operadors de canvi-invariante (invariante traslacional) estretament relacionats en la sumixca de Minkowski.

Siga I un espai euclidiano o una cuadrícula sancera i A una image binaria en I.

Erosió

l'erosió de l'image binaria A per l'element estructurante B està definida per:

A ⊖ B = {z \in E | B_{z} \subseteq A}

,

a on B_z és la translació de B pel vector z, açò és, $B_{z} = {b + z | b \in B}$ , $\forall z \in E$ .

Quan l'element estructurante B té un centre (per eixemple, B és un disc o un quadrat) i este centre es troba en l'orige de I, llavors l'erosió de A per B es pot entendre com el lloc geomètric dels punts alcançats pel centre de B quan B es mou dins de A. Per eixemple, l'erosió d'un quadrat de costat 10, centrat en l'orige, per un disc de radi 2, també centrat en l'orige, és un quadrat de costat 6 centrat en l'orige.

L'erosió de A per B també està donada per l'expressió: $A ⊖ B = ⋂_{b \in B} A_{- b}$ .

Eixemple d'aplicació: Supongam que hem rebut un fax d'una fotocòpia obscura. Tot sembla que va ser escrit en una ploma que està sagnant. El procés d'erosió permetrà que les llínees grosses enflaquezcan i detectar el forat dins de la lletra "o".

Dilatació

La dilatació es descriu com un creiximent d'pixel, és dir, es marca en 1 la part del fondo de l'image que toque un pixel que forma part de la regió. Açò permet que aumente un pixel al voltant de la circumferència de cada regió i aixina poder incrementar dimensions, la qual cosa ajuda a reblir clots dins de la regió.

La dilatació de A per l'element estructurante B es definix per:

A \oplus B = ⋃_{b \in B} A_{b}

.

La dilatació és conmutativa, també donada per:

 $A \oplus B = B \oplus A = ⋃_{a \in A} B_{a}$ .

Si B té un centre en l'orige, com abans, llavors la dilatació de A per B es pot entendre com el lloc geomètric dels punts coberts per B quan el centre de B es mou dins de A. En l'eixemple a la dreta, la dilatació del quadrat de costat 10 pel disc de radi 2 és un quadrat de costat 14, en els cantons redonejats, centrat en l'orige. El radi dels cantons redonejats és 2.

La dilatació també es pot obtindre per: $A \oplus B = {z \in E | (B^{s})_{z} \cap A \neq \emptyset}$ , a on B^s denota la simetria de B, que és, $B^{s} = {x \in E | - x \in B}$ .

Eixemple d'aplicació: La dilatació és l'opost de l'erosió. Les figures que estan traçades molt tènuement engruesar quan són "dilatades". La manera més fàcil de descriure-ho és imaginar que el mateix fax/text és escrit en una ploma més grossa.

Obertura

l'obertura de A per B s'obté per l'erosió de A per B, seguida per la dilatació de l'image resultant per B:

A \circ B = (A ⊖ B) \oplus B

.

L'obertura també està donada per $A \circ B = ⋃_{B_{x} \subseteq A} B_{x}$ , lo que significa que és el lloc geomètric de les translacions de l'element estructurante B dins de l'image A. En el cas del quadrat de costat 10 i un disc de radi 2 com a element estructurante, l'obertura és un quadrat de costat 10 en els cantons redonejats, a on el radi dels cantons és 2.

Eixemple d'aplicació: Supongam que algú ha escrit una nota en un paper que no és absorbent per lo que sembla que estan creixent chicotetes raïls peludes en tots els llocs de l'escritura. L'obertura essencialment elimina les chicotetes "rayita" exteriors derramades i restaura el text. L'efecte secundari és que redoneja les coses. Les vores esmolades comencen a desaparéixer.

Tancament

Archiu:Closing.png

El tancament de la forma blava obscura (l'unió de dos quadrats) per un disc, lo que resulta en l'unió de la forma blava obscura i les àrees de color celest.

El tancament de A per B s'obté per la dilatació de A per B, seguida per l'erosió de l'estructura resultant per B:

A ∙ B = (A \oplus B) ⊖ B

.

El tancament també es pot obtindre per $A ∙ B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}$ , a on X^c denota el complement de X respecte a I (açò és, $X^{c} = {x \in E | x \in̸ X}$ ). Lo anterior significa que el tancament és el complement del lloc geomètric de les translacions de la simetria de l'element estructurante fòra de l'image A.

Archiu:Zahnräder Schließung.png

Image binaria de rodes dentadas abans i despuix del tancament morfològic. Es nota que els forats varen ser tancats, no obstant la forma permaneix conservada.

Propietats dels operadors bàsics

Ací estan algunes propietats dels operadors morfològics binarios bàsics (dilatació, erosió, obertura i tancament):

Són invariantes a la translació.
Són creixents, és dir, si $A \subseteq C$ , llavors $A \oplus B \subseteq C \oplus B$ , i $A ⊖ B \subseteq C ⊖ B$ , etc.
La dilatació és conmutativa.
Si l'orige de I pertany a l'element estructurante B, llavors $A ⊖ B \subseteq A \circ B \subseteq A \subseteq A ∙ B \subseteq A \oplus B$ .
La dilatació és associativa, açò és, $(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)$ . Per una atra part, l'erosió satisfà $(A ⊖ B) ⊖ C = A ⊖ (B \oplus C)$ .
L'erosió i la dilatació satisfan la dualitat $A \oplus B = (A^{c} ⊖ B^{s})^{c}$ .
L'obertura i el tancament satisfan la dualitat $A ∙ B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}$ .
La dilatació és distributiva sobre l'unió de conjunts.
L'erosió és distributiva sobre l'intersecció de conjunts.
La dilatació és un seudo-invers de l'erosió i viceversa, en el següent sentit: $A \subseteq (C ⊖ B)$ si i solament si $(A \oplus B) \subseteq C$ .
L'obertura i el tancament són idempotents.
L'obertura és anti-extensiva, és dir, $A \circ B \subseteq A$ , mentres que el tancament és extensiu, és dir, $A \subseteq A ∙ B$ .

Atres operadors i ferramentes

Referències

Image Analysis and Mathematical Morphology per Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances per Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
An Introduction to Morphological Image Processing per Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Morphological Image Analysis; Principles and Applications per Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)
Mathematical Morphology and its Application to Signal Processing, J. Serra and Ph. Salembier (Eds.), proceedings of the 1st International Workshop on Mathematical Morphology and its Applications to Signal Processing (ISMM'93), ISBN 84-7653-271-7 (1993)
Mathematical Morphology and Its Applications to Image Processing, J. Serra and P. Soille (Eds.), proceedings of the 2nd international symposium on mathematical morphology (ISMM'94), ISBN 0-7923-3093-5 (1994)
Mathematical Morphology and its Applications to Image and Signal Processing, Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink (Eds.), proceedings of the 4th international symposium on mathematical morphology (ISMM'98), ISBN 0-7923-5133-9 (1998)
Mathematical Morphology: 40 Years On, Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière (Eds.), ISBN 1-4020-3442-3 (2005)
Mathematical Morphology and its Applications to Signal and Image Processing, Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Net (Eds.), proceedings of the 8th international symposium on mathematical morphology (ISMM'07), ISBN 978-85-17-00032-4 (2007)
Mathematical morphology: from theory to applications, Laurent Najman and Hugues Talbot (Eds). ISTE-Wiley. ISBN 978-1-84821-215-2. (520 pp.) June 2010

Este artícul conté una traducció derivada de «Morfología matemática» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.