Geometria integral

En matemàtiques, geometria integral es referix al subcampo de la teoria de la mida que estudia els invariantes del grup de simetria d'un espai geomètric. En temps recents, el significat s'ha ampliat per a incloure a les transformacions invariantes (o equivariantes) d'un espai de funcions sobre un espai geomètrica a l'espai de funcions d'un atre espai geomètric. Estes transformacions freqüentment prenen la forma de transformades integrals, com per eixemple la transformada de Radon i les seues generalisacions.

Context clàssic

La geometria integral com tal va aparéixer inicialment com un intent de refinar algunes afirmacions sobre teoria de la provabilitat geomètrica. El treball inicial de Luis Santaló i Wilhelm Blaschke va treballar en eixa llínea. Ademés se seguix del teorema de Crofton que relaciona la llongitut d'una curva plana com el valor esperat del número d'interseccions en una llínea aleatòria.

Existix una mostra d'espais de llínees, una en la que el grup afí del pla actua. En eixes condicions es busca una mida de provabilitat en este espai, que siga invariante baix el grup de simetria. Si com en este cas, pot trobar-se una única mida invariante del tipo desijat, llavors esta mida resolen el problema de formular adequadament lo que s'entén per "llínea aleatòria", i el valor esperat es pot calcular com a integral sobre dita mida. Note's que per eixemple l'expressió "una corda aleatòria d'un círcul" pot ser usada per a construir algunes paradoxas).

Podem, per tant, dir que la geometria integral en este sentit és l'aplicació de la teoria de la provabilitat (tal com va ser axiomatizada per Kolmogorov) en el context del programa de Erlangen de Felix Klein. El contingut de la teoria efectivament té que vore en les mides invariantes i suaus sobre espais homogéneus de grups de Lie (preferentment compactes), i l'evaluació d'integrals de les formes diferencials a que donen lloc.

Un cas molt notori és el problema de l'agulla de Buffon: deixe's caure una agulla en un sol fet a pur de taulells i calcule's la provabilitat de l'agulla travesse una juntura recta entre els taulells. Generalisant, esta teoria pot aplicar-se a varis processos estocàstics relacionats en problemes geomètrics i en qüestions d'incidència (vore geometria estocàstica). Un de les teoremes més interessants en esta classe de geometria integral és el teorema de Hadwiger.

En l'us més recent de geometria integral el terme s'usa en la manera que ho usen Sigurdur Helgason i Izrail Gélfand. En esta accepció la geometria integral tracta més concretament sobre transformades integrals, modelades a partir de la transformada de Radon. Ací la relació d'incidència geomètrica subjacent (els punts yacer sobre llínees, en el cas de la teorema de Crofton) s'observa baix un aspecte més lliure.

Referències

• Plantilla:Springer