Transformada de Radon

Transformació de Radon. Aplicació f en el domini (x, i) en f en el domini (α, s)

Transformada de Radon de la funció indicatriz de dos quadrats que es mostra en l'image a continuació. Les regions més clares indiquen valors de la funció més alts. El color negre indica valor zero.

La funció original és igual a un en la regió blanca i zero en la regió obscura.

En matemàtiques, la transformada de Radon bidimensional, cridada aixina per Johann Radon, és una transformació integral que consistix en l'integral d'una funció sobre el conjunt de rectes.

Per eixemple, si una llínea la representem per $x\cos \theta +y\sin \theta =s$, a on $s$ és la mínima distància des de la recta al orige i $\theta$ és l'àngul que forma l'eix $x$ en el vector posició del punt de la recta més propenc a l'orige, llavors

$ℛ[f](\theta ,s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -s)dxdy.$

En un espai $n$-dimensional la transformada de Radon és l'integral d'una funció sobre hiperplanos. L'integral d'una funció sobre un conjunt de rectes en un espai $n$-dimensional se li denomina transformada de rajos-X, encara que a voltes este terme és adoptat per la transformada de Radon.

En el context de les tomografía la transformada de Radon se li sol cridar senograma posat que la transformada de Radon d'una funció delta té com a resposta característica un sen. En conseqüència, la representació gràfica de la transformada de Radon d'un conjunt de menuts objectes sembla una colecció de sens en diferents fases i amplitut.

Esta transformada en la seua versió bidimensional i tridimensional va ser introduïda en un artícul en 1917 per Johann Radon, qui, a la seua volta, va generar una formulació per a la transformació inversa. Posteriorment, la antitransformada va ser generalisada en el context de la geometria integral.

La transformada de Radon és útil en els TAC's (tomografía axial computarizada) i en la solució d'equacions en derivades parcials hiperbòliques.

Teorema de les seccions de Fourier

La transformada de Radon està estretament relacionada en la transformada de Fourier. Per a una funció d'una variable, es definix la transformada de Fourier de la següent forma

$\hat{f}(\omega )=\frac{1}{{(2\pi )}^{1/2}}\int f(x)e^{-ix\omega }dx.$

i per a una funció de bidimensional de variable $𝐱=(x,y)$

$\hat{f}(𝐰)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(𝐱)e^{-i𝐱\cdot 𝐰}dxdy$

per conveniència canviem la nomenclatura de la següent forma

$R_{\theta }[f](s)=R[f](s,\theta )$

lloc que prendrem la transformada de Fourier respecte la variable $s$. La teorema de les seccions de Fourier s'enuncia de la següent forma:

$\widehat{R_{\theta }[f]}(\sigma )=\sqrt{2\pi }\hat{f}(\sigma 𝐧(\theta ))$

a on

$𝐧(\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta )$

Este resultat dona una fòrmula explícita per a l'inversió de la transformada de Radon, i ademés nos dona les condicions per a conéixer en quins espais de funcions la transformada de Radon és invertible. No obstant, esta igualtat no és útil des d'un punt de vista numèric.

Retroproyección filtrada

Fantasma de Shepp-Logan; Transformada de Radon; i Transformada de Radon inversa

Existix un algoritme invers de la transformada de Radon computacionalment eficient per al cas bidimensional cridat retroproyección filtrada. Primerament considerem l'operador adjunt de $R$:

$R^{*}[g](𝐱)=\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\theta ,𝐧(\theta )\cdot 𝐱)d\theta ,$

Este operador rep el nom de 'retroproyector' lloc que agarra les proyeccions sobre les rectes i les 'escampa' o retroproyecta per a produir una image. Es pot observar com este operador no és la transformada inversa de Radon.

Definim el següent filtre rampa $h$ d'una variable

$\widehat{H[h]}(\omega )=|w|\hat{h}(\omega )$

si ara apliquem la teorema de les seccions de Fourier i canviem les variables d'integració, observem que per a $f$ una funció de dos variables, i $g=R[f]$

$f=\frac{1}{4\pi }{R}^{*}H[g]$

lo que significa que l'image original $f$ pot ser recuperada del 'sinograma' $g$ aplicant un filtre rampa (sobre la variable $s$) i llavors retroproyectando. Com que el pas de filtrat pot ser implementat de forma eficient (per mig de tècniques de processament digital de senyals) i la retroproyección no és més que una acumulació de valors en els píxels de l'image, resulta un algoritme altament eficient, per lo que es tracta d'un algoritme àmpliament usat.

Vore també

• Transformada de Hough
• Reconstrucció tomográfica

Referències i enllaços externs

• Deans, Stanley R. (1983). The Radon Transform and Some of Its Applications, Nova York: John Wiley & Sons.
• Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-493-1
• Frank Natterer and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-472-9
• RadonTransform en MathWorld.