Reconstrucció tomográfica

Les bases matemàtiques per a les imàgens tomográficas varen ser formulades per Johann Radon. És aplicada en tomografia computarizada per a obtindre imàgens travesseres de pacients. Este artícul s'aplica per lo general en la reconstrucció tomografica per a tot tipo de tomografía, no obstant alguns térmens o descripcions físiques es referixen directament a la tomografía axial computarizada.

Erro al crear miniatura:

Figura 1: Geometria de fes paralel. Cada proyecció està formada pel conjunt d'integrals de llínea a través de l'objecte.

Les proyeccions d'un objecte a determinat àngul $\theta$ estan conformades per una série d'integrals de llínea. En les tomografía axials computarizadas de rajos-X, els integrals de llínea representen l'atenuació total del fes de rajos-X mentres estes viagen en llínea recta a través de l'objecte. Com mencionat anteriorment, l'image resultant és un model 2D ( o 3D) del coeficient d'absorció. Açò per a poder trobar l'image $\mu (x,y)$. La forma més simple i fàcil de visualisar el método d'anàlisis, és el sistema de proyeccions paraleles. Per a açò es considera l'informació que es recolecta com una série de rajos paralels en la posició $r$, a través d'una proyecció en l'àngul $\theta$. Açò es repetix per a varis ànguls. L'atenuació es produïx de forma exponencial en teixit:

$I=I_0\exp \left(-\int \mu (x,y)ds\right)$

A on $\mu (x)$ és el coeficient d'atenuació en la posició $x$ a lo llarc de la trayectòria del raig. Per açò, en general l'atenuació total $p$ d'un raig en posició $r$, en una proyecció en l'àngul $\theta$, està donada per la següent integral:

$p(r,\theta )=\ln (I/I_0)=-\int \mu (x,y)ds$

Utilisant el sistema de coordenades de la figura, el valor de $r$, en el punt $(x,y)$, serà proyectat en l'àngul $\theta$ com ho mostra la següent equació:

$x\cos \theta +y\sin \theta =r$

En açò veem que l'equació mostrada anteriorment es pot reescriure de la següent manera:

$p(r,\theta )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)dxdy$

A on $f(x,y)$ representa a $\mu (x,y)$. Esta funció és coneguda com la transformada de Radon (o sinograma) de l'objecte en resolució 2D. El teorema de seccions de Fourier nos diu que si tenim un número infinit de proyeccions unidimensionals d'un objecte obtingut des d'un número infinit d'ànguls, podem reconstruir perfectament l'objecte original, $f(x,y)$. Llavors per a poder obtindre novament $f(x,y)$, des de l'equació anterior devem trobar llavors la transformada inversa de Radon. No obstant, la transformada inversa de Radon ha demostrat ser molt inestable sobre senyes sorolloses. En la pràctica, una versió estabilisada i discreta de la transformada inversa de Radon és utilisada, el qual és comunament conegut com l'algoritme de retroproyección filtrada.

Atres llectures

• Gabor T. Herman (2009), Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections, 2nd Edition, Springer, ISBN 978-1-85233-617-2.
• Avinash Kak & Malcolm Slaney (1988), Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3.