Decaiguda exponencial

Una cantitat en decaiguda exponencial. Les constants de decaiguda més grans fan que la cantitat desaparega molt més ràpidament. Este gràfic mostra la decaiguda per a la constant de desintegració (λ) de 25, 5, 1, 1/5 i 1/25 per a x de 0 a 5.

Una cantitat està subjecta a una decaiguda exponencial si es disminuïx a una taxa proporcional sobre el seu valor actual. Simbòlicament, este procés pot ser expressat per la següent equació diferencial, a on N és la cantitat i λ (lambda) és una taxa positiva cridada constant de decaiguda exponencial:

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N.$

La solució a esta equació (vore derivació més avall) és:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t},$

a on N (t) és la cantitat en el moment $t$ i N₀ = N(0) és la cantitat inicial, és dir, la cantitat en el moment $t$ = 0

Medició de la velocitat de decaiguda

Promig de vida

Si la cantitat en decadència, N(t), és el número d'elements discrets en un determinat conjunt, és possible calcular el temps mig que un element permaneix en el conjunt. A açò se li crida la vida mija (o simplement la vida), a sovint és denotada com $\tau$. La vida mija o promig, $\tau$, es relaciona en la taxa de decaiguda, λ, de la següent manera:

$\tau =\frac{1}{\lambda }.$

La vida mija es pot considerar com un "temps d'escala", perque l'equació de decaiguda exponencial es pot escriure en térmens de la vida mija, $\tau$, en lloc de la constant de decaiguda, λ:

$N(t)=N_0{e}^{-t/\tau }.$

D'a on es deduïx que $\tau$ és el moment en que la població del conjunt queda reduïda a 1/i ≈ 0.367879441 multiplicat pel seu valor inicial.

Per eixemple, si la població inicial, N(0), és 1000, llavors la població transcorregut un temps $\tau$ ve donada per $N(\tau )=1000/e=368$.

Semivida

Artícul principal → Semivida.

En alguns casos, una mida més útil de la decaiguda exponencial és el temps necessari per a que la cantitat del producte en decaiguda es reduïxca a la mitat del seu valor inicial. Este temps rep el nom de semivida, o periodo de semidesintegración en contexts radioactivos, i a sovint és denotat pel símbol t_1/2. La semivida pot escriure's en térmens de la constant de decaiguda, λ, o de la vida mija, τ, com:

$t_{1/2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }=\tau \ln (2).$

Equació que s'ha obtingut resolent per a t_1/2 l'equació exponencial:

$N_0{e}^{-t_{1/2}/\tau }=1/2.$

Aixina, la cantitat de substància que queda transcorregut un temps t_1/2 és 2⁻¹ = 1/2 elevat al número (sancer o no) de vides miges que han transcorregut. Per ememplo, despuix de 3 vides miges quedaran 1/2³ = 1/8 del material original.

Per lo tant, la vida mija $\tau$ és igual a la semivida dividida pel logaritmo natural de 2, o:

$\tau =\frac{t_{1/2}}{\ln (2)}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.$

Açò és, el periodo de semidesintegración o semivida d'una substància és aproximadament el 69,31 % de la seua vida mija. Per eixemple, el poloni-210 té una semivida de 138 dies, i una vida mija de 200 dies.

Solució de l'equació diferencial

L'equació que descriu la decaiguda exponencial és

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

o, per reordenació (aplicant el método de separació de variables),

$\frac{dN}{N}=-\lambda dt.$

Integrant, tenim

$\ln N=-\lambda t+C$

a on C és la constant d'integració, i per lo tant

$N(t)=e^C{e}^{-\lambda t}=N_0{e}^{-\lambda t}$

a on la substitució final, N₀ = i^C, s'obté evaluant l'equació a t = 0, ya que N₀ es definix com la cantitat a t = 0.

Esta és la forma de l'equació que s'usa més comunament per a descriure la decaiguda exponencial. Qualsevol de les constant de decaiguda, vida útil mija o vides mija és suficient per a caracterisar la decaiguda. La notació λ per a la constant de decaiguda és un remanente de la notació usual per a un valor propi. En este cas, λ és el valor propi del opost del operador diferencial en N(t) com l'autofunción corresponent. Les unitats de la constant de caiguda són s^{−1cita requerida}.

Derivació de la vida útil mija

Donat un conjunt d'elements, el número dels quals disminuïx en última instància a zero, la vida útil mija, $\tau$, (també cridada simplement vida útil) és el valor esperat de la cantitat de temps que transcorre ans que un objecte siga retirat del conjunt. Específicament, si la "vida útil individual" d'un element del conjunt és el temps transcorregut entre un determinat temps de referència i la retirada d'eixe element del conjunt, la vida útil mija és la mija aritmètica dels temps de vida individuals.

A partir de la fòrmula de població

$N=N_0{e}^{-\lambda t},$

primer deixa que c siga el factor normalizador per a convertir a funció de densitat de provabilitat:

$1=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c\cdot N_0{e}^{-\lambda t}dt=c\cdot \frac{N_0}{\lambda }$

o, en la reorganisació,

$c=\frac{\lambda }{N_0}.$

La decaiguda exponencial és un escalar múltiple de la distribució exponencial. (és dir, la vida útil individual de cada objecte es distribuïx exponencialment), que té un valor esperat ben conegut. Podem calcular-ho ací usant integració per parts.

$\tau =⟨t⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot c\cdot N_0{e}^{-\lambda t}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda t{e}^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }.$

Decaiguda per dos o més processos

Vore també: Fracció de ramificació

Una cantitat pot decaure a través de dos o més processos diferents simultàneament. En general, estos processos (a sovint cridats "modos de decaiguda", "canals de decaiguda", "rutes de decaiguda", etc.) tenen diferents provabilitats d'ocórrer, i per lo tant ocorren a diferents velocitats i en diferents vides miges, en paralel. La taxa de decaiguda total de la cantitat N ve donada per la suma de les rutes de decaiguda; per lo tant, en el cas de dos processos:

$-\frac{dN(t)}{dt}=N{\lambda }_1+N{\lambda }_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2)N.$

La solució a esta equació es dona en la secció anterior, a on la suma de ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ es tracta com una nova constant de decaiguda total ${\lambda }_c$.

$N(t)=N_0{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)t}=N_0{e}^{-({\lambda }_c)t}.$

La vida útil parcial associada als processos individuals és per definició del invers multiplicativo de la corresponent constant de decaiguda parcial: $\tau =1/\lambda$. Una combinació de ${\tau }_c$ pot ser donada en térmens de $\lambda$s:

$\frac{1}{{\tau }_c}={\lambda }_c={\lambda }_1+{\lambda }_2=\frac{1}{{\tau }_1}+\frac{1}{{\tau }_2}$

${\tau }_c=\frac{{\tau }_1{\tau }_2}{{\tau }_1+{\tau }_2}.$

Ya que la vida útil diferix de la vida mija en un factor constant, la mateixa equació es manté en térmens de les dos vides miges corresponents:

$T_{1/2}=\frac{t_1{t}_2}{t_1+t_2}$

a on $T_{1/2}$ és la vida mija combinada o total per al procés, $t_1$ i $t_2$ es denominen vida mija parcial dels processos corresponents. Els térmens "vida mija parcial" i "vida útil parcial" denoten cantitats derivades d'una constant de decaiguda com si el modo de decaiguda donada fora l'únic modo de decaiguda per a la cantitat. El terme vida mija parcial és enganyós, ya que no pot medir-se com un interval de temps en el que una determinada cantitat es reduïx a la mitat.

En térmens de constants de decaiguda separades, es pot demostrar que la vida mija total $T_{1/2}$ és de

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_c}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}.$

Per a una decaiguda per tres processos exponencials simultàneus, la vida mija total pot calcular-se com s'indica dalt:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_c}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3}=\frac{t_1{t}_2{t}_3}{(t_1{t}_2)+(t_1{t}_3)+(t_2{t}_3)}.$

Vore també

• Fòrmula exponencial
• Creiximent exponencial
• Desintegració radioactiva per a la matemàtica de cadenes de processos exponencials en constants diferents