Hipòtesis dels grans números de Dirac

Archiu:Paul Dirac, 1933.jpg

Paul Dirac

La hipòtesis dels números grans de Dirac (en inglés: Dirac large numbers hypothesis, o LNH) és una observació realisada per Paul Dirac en 1937 que relaciona les proporcions d'escales de tamany en l'Univers en les escales de força. Les proporcions constituïxen números molt grans i sense dimensions: uns 40 órdens de magnitut en l'época cosmológica actual. D'acort en l'hipòtesis de Dirac, la similitut aparent d'estes relacions podria no ser una mera coincidència, sino que podria implicar una cosmologia en estes característiques inusuals:

• la força de la gravetat, representada per la constant gravitacional, és inversamente proporcional a l'edat de l'univers: $G\propto 1/t$;
• la massa de l'univers és proporcional al quadrat de l'edat de l'univers: $M\propto t^2$;
• les constants físiques en realitat no són constants. Els seus valors depenen de l'edat de l'Univers.

Context

La LNH va ser la resposta personal de Dirac a una gran cantitat de "coincidències" que intrigaban a atres teòrics de la seua época. Les "coincidències" varen començar en Hermann Weyl (1919), que va especular que el radi observat de l'univers, R_O, podria ser també el radi hipotètic d'una partícula l'energia de la qual en repòs fora igual a l'auto-energia gravitacional de l'electró:

$\frac{R_{\text{U}}}{r_{\text{e}}}\approx \frac{r_{\text{H}}}{r_{\text{e}}}\approx 10^{42},$

$r_{\text{e}}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{m}_{\text{e}}{c}^2},$

$r_{\text{H}}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{m}_{\text{H}}{c}^2},$

$m_{\text{H}}{c}^2=\frac{G{m}_{\text{e}}^2}{r_{\text{e}}}$

a on r_i és el radi clàssic de l'electró, m_i és la massa de l'electró, m_H denota la massa de la partícula hipotètica i r_H és el seu radi electrostàtic.

La coincidència va ser desenrollada encara més per Arthur Eddington (1931), que va relacionar les relacions anteriors en N, el número estimat de partícules carregades en l'univers:

$\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}G{m}_{\text{e}}^2}\approx \sqrt{N}\approx 10^{42}.$

Ademés dels eixemples de Weyl i Eddington, Dirac també va estar influenciat per la hipòtesis de l'àtom primigeni de Georges Lemaître, qui va donar una conferència sobre el tema en Cambridge en 1933. La noció d'una cosmologia de G variable apareix per primera volta en l'obra d'Edward Arthur Milne uns anys ans que Dirac formulara la LNH. Milne no es va inspirar solament en les numeroses coincidències, sino en una aversió per la teoria general de la relativitat d'Einstein. Per a Milne, l'espai no era un objecte estructurat sino simplement un sistema de referència en el que relacions com esta podrien acomodar les conclusions d'Einstein:

$G=\left(\frac{c^3}{M_{\text{U}}}\right)t,$

a on M_O és la massa de l'univers i t és l'edat de l'univers en segons. Segons esta relació, G aumenta en el temps.

Interpretació de Dirac de les coincidències dels grans números

Les relacions de Weyl i Eddington anteriors es poden reformular de vàries maneres, com per eixemple en el context del temps:

$\frac{ct}{r_{\text{e}}}\approx 10^{40},$

a on t és l'edat de l'univers, $c$ és la velocitat de la llum i r_i és el radi clàssic de l'electró. Per lo tant, en unitats a on c = 1 and r_i = 1, l'edat de l'univers és aproximadament 10⁴⁰ unitats de temps. Est és el mateix orde de magnitut que la relació entre les forces elèctriques i les forces gravitacionals entre un protón i un electró:

$\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}G{m}_{\text{p}}{m}_{\text{e}}}\approx 10^{40}.$

Per lo tant, interpretant la càrrega $e$ de l'electró, les masses$m_{\text{p}}$ i $m_{\text{e}}$ del protó i de l'electró, i el factor de permitividad $4\pi {ϵ}_0$ en unitats atòmiques (igual a 1), el valor de la constant gravitacional és aproximadament 10⁻⁴⁰. Dirac va interpretar que açò significa que $G$ varia en el temps com $G\approx 1/t$. Encara que George Gamow va observar que tal variació temporal no se seguix necessàriament de les suposicions de Dirac, no s'ha trobat un canvi corresponent de G. No obstant, segons la relativitat general, G és constant, ya que de lo contrari es viola la llei de conservació de l'energia. Dirac va trobar esta dificultat en introduir en les equacions de camp d'Einstein una funció gauge β que descriu l'estructura del espai-temps en térmens d'una proporció d'unitats gravitacionals i electromagnètiques. També va proporcionar escenaris alternatius per a la creació contínua de matèria, un dels atres problemes importants en la LNH:

• creació «aditiva» (la nova matèria es crea de manera uniforme en tot l'espai), i
• creació «multiplicativa» (es crea matèria nova a on ya hi ha concentracions de massa).