Archiu:Ejemplo de barcode de homología persistente.pngL'image mostra un eixemple de barcode o còdic de barres d'homologia persistent.En este cas, el barcode ilustra l'evolució de les característiques topològiques presents en un espai topològic dau. S'observa que hi ha components conectats (H0) que persistixen en un ranc ampli d'escales. Ademés, es detecten alguns cicles (H1) i cavitats (H2) que persistixen en certs intervals d'escala, indicant la presència d'estructures topològiques de major dimensió en les senyes.Consulte homologia per a obtindre una introducció a la notació.
L'homologia persistent és un método per a calcular característiques topològiques d'un espai en diferents resolucions espacials. Les característiques més persistents es detecten movent un paràmetro espacial a on es considera que la major persistència està relacionada en ser característiques verdaderes de l'espai subjacent en lloc d'artefactes de mostreig, soroll o una elecció particular de paràmetros. [1]
Una de les seues característiques principals i per la qual l'homologia persistent ha segut utilisada en vàries branques fòra de les matemàtiques com la biologia,[2][3]és la seua capacitat per a extraure informació de senyes que d'un atre modo passarien desapercebuts en els métodos tradicionals d'anàlisis.[4]
Per a trobar l'homologia persistent d'un espai, primer es deu representar l'espai com un complex simplicial . Una filtració del complex simplicial és una seqüència anidada de subconjunts creixent baix una distància en l'espai subjacent . Una filtració simple coneguda és la filtració de Čech . [5] Una construcció similar utilisa una seqüència anidada de complexos Vietoris-Rips coneguda com a filtració Vietoris-Rips . [6]
En l'anàlisis topològic de senyes, particularment en el context de l'homologia persistent, s'utilisa una representació gràfica anomenada diagrama de persistència per a visualisar les característiques topològiques d'una funció de valor real. El diagrama de persistència d'una funció de valor real f és un multiconjunto de punts en el pla estés. Cada punt del diagrama representa una característica homológica en el conjunt de subnivel de f, i les seues dos coordenades són els valors de f en els que la característica apareix i desapareix en els conjunts de subnivel.[7]
Una atra representació gràfica utilisada en l'homologia persistent és el còdic de barres (barcode en anglés), que permet visualisar les característiques topològiques d'un conjunt de senyes que persistixen a lo llarc de diferents escales o resolucions.[8] Els barcodes permeten resumir i comprendre l'estructura global de les senyes, especialment quan estos són d'alta dimensió i no poden ser fàcilment visualisats de manera directa.
En un barcode, cada característica topològica es representa per mig d'una barra horisontal, a on la posició i llongitut de la barra indiquen, respectivament, el valor del paràmetro en el que apareix i desapareix la característica.[8] D'esta manera, els barcodes brinden una descripció visual concisa de la topología subjacent de les senyes i les seues propietats persistents.
Aplicacions a la biologia computacional
L'homologia persistent és utilisada com una ferramenta per a trobar transferències horisontals entre diferents individus d'un linaje taxonómico. [2]En usar-la en este propòsit la topología en dimensió zero de l'homologia persistent resumix l'evolució clonal, mentres que la topología en dimensions superiors proporciona evidència d'events d'evolució reticulada, com la recombinació i el reordenamiento de segments genómicos. Els generadors d'estos grups d'homologia de major dimensió permeten identificar events reticulados específics, i el seu conteo normalisat proveïx una cota inferior per a la taxa de recombinació o reordenamiento en l'història evolutiva dels virus.[2]
i1005071.ISSN 1553-7358.doi:10.1371/journal.pcbi.1005071.Consultat el 2024-04-16.
↑Journal of Applied and Computational Topology.4(2)
211–262.ISSN 2367-1734.doi:10.1007/s41468-020-00048-w.Consultat el 2024-04-16.
↑Kerber, Michael; Sharathkumar, {{{nom2}}} (2013). «Approximate Čech Complex in Low and High Dimensions», Cai (ed.). Algorithms and Computation (en en), Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 666–676. doi:10.1007/978-3-642-45030-3_62. ISBN 978-3-642-45030-3.
