Infinit absolut
El infinit absolut (a sovint cridat «absolut»), denotat en l'última lletra del alfabet hebreu Plantilla:Gran (tav), és una extensió de l'idea d'infinit proposta pel matemàtic Georg Cantor. Representa el tamany de la classe pròpia de número cardinal. Cantor va vincular l'infinit absolut en Deu,[1][2]<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where [3]<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where i va creure que tenia vàries propietats matemàtiques, incloent el principi de reflexió: tota propietat de l'infinit absolut també la posseïx algun objecte més menut.[4]Plantilla:Aclarir
Teoria de Cantor
[editar | editar còdic]Cantor va dir:
L'infinit actual es distinguia per tres relacions: primer, tal com es realisa en la suprema perfecció, en l'existència completament independent, extramundana, en Deo, a on ho cride infinit absolut o simplement absolut; segon, en la mida en que es representa en el món depenent, creat; tercer, tal com pot ser concebut in abstracte en el pensament com una magnitut matemàtica, número o tipo d'orde. En les dos últimes relacions, a on evidentment es revela com llimitat i capaç de major proliferació i per tant familiar al finito, ho cride Transfinitum i ho contraste fortament en l'absolut.[2]<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where [Nota 1]
Mentres usava l'expressió en llatí in Deo (en Deu), Cantor identifica l'infinit absolut en Deu (GA 175–176, 376, 378, 386, 399). Segons Cantor, l'Infinit Absolut està més allà de la comprensió matemàtica i deu interpretar-se en térmens de teologia negativa.[5] Cantor també va mencionar l'idea en les seues cartes a Richard Dedekind (text entre corchetes no present en l'original):[6][2][7]
Una multiplicitat [sembla que vol dir lo que ara cridem un conjunt] es diu ben ordenat si complix la condició de que tota sub-multiplicitat té un primer element; tal multiplicitat la cride per curt una «seqüència».
...
Ara concep el sistema de tots els [ordinals] números i ho denote Ω.
...
El sistema Ω en la seua orde natural segons la magnitut és una «seqüència».
Ara adossem 0 com un element adicional a esta seqüència, i coloque-ho, òbviament, en la primera posició; llavors obtenim una seqüència Ω′:
0, 1, 2, 3, ... ω0, ω0+1, ..., γ, ...
de la qual es pot convéncer fàcilment de que tot número γ que ocorre en ella és el tipo [és dir, tipo d'orde] de la seqüència de tots els seus elements precedents (incloent 0). (La seqüència Ω té esta propietat primer per a ω0+1. [ω0+1 deuria ser ω0.])Ara Ω′ (i per tant també Ω) no pot ser una multiplicitat consistent. Perque si Ω′ era consistent, llavors com a conjunt ben ordenat, un número δ li correspondria que seria major que tots els números del sistema Ω; el número δ, no obstant, també pertany al sistema Ω, perque comprén tots els números. Aixina δ seria major que δ, la qual cosa és una contradicció. Per lo tant:
«El sistema Ω de tots els [ordinals] números és una multiplicitat inconsistente, absolutament infinita.»
Paradoxa de Burali-Forti
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Paradoxa de Burali-Forti.
L'idea de que la colecció de tots els números ordinals no pot existir llògicament sembla paradòxic a molts. Açò està relacionat en la paradoxa de Burali-Forti, que implica que no pot haver un major número ordinal. Tots estos problemes poden rastrejar-se fins a l'idea de que, per a cada propietat que pot definir-se llògicament, existix un conjunt de tots els objectes que tenen eixa propietat. No obstant, com en l'argument de Cantor (dalt), esta idea du a dificultats.
Més generalment, com va notar A. W. Moore, no pot haver fi al procés de formació de conjunts, i per tant no hi ha tal cosa com la «totalitat de tots els conjunts», o la «jerarquia de conjunts». Qualsevol tal totalitat tindria que ser un conjunt, situant-se aixina en algun lloc dins de la jerarquia i per tant fallant en contindre tot conjunt.
Una solució estàndar a este problema es troba en la teoria de conjunts de Zermelo, que no permet la formació irrestricta de conjunts a partir de propietats arbitràries. Més be, podem formar el conjunt de tots els objectes que tenen una propietat donada i yacer en algun conjunt dau (axioma de separació de Zermelo). Açò permet la formació de conjunts basats en propietats, en un sentit llimitat, mentres (esperem) preserva la consistència de la teoria.
Encara que açò resol el problema llògic, es podria argumentar que el problema filosòfic permaneix. Sembla natural que un conjunt d'individus dega existir, sempre que els individus existixquen. De fet, la teoria informal de conjunts podria dir-se que es basa en esta noció. Encara que la correcció de Zermelo permet que una classe descriga entitats arbitràries (possiblement «grans»), estos predicats del metallenguage poden no tindre existència formal (és dir, com a conjunt) dins de la teoria. Per eixemple, la classe de tots els conjunts seria una classe pròpia. Açò és filosòficament insatisfactori per a alguns i ha motivat treball adicional en teoria de conjunts i atres métodos de formalisar els fonaments de les matemàtiques com els nous fonaments de Willard Van Orman Quine.
Vore també
[editar | editar còdic]Notes
[editar | editar còdic]- ↑ «7. Im Kampf mit der Unendlichkeit — Ausfl¨uge in die TheoMathematik» (en alemà). «És wurde dones Aktual-Unendliche (A-U.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern és in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich és Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern és in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern és als mathematische Größi, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracte aufgefaßt werden kann. In donen beiden letzten Beziehungen, wo és offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich és Transfinitum und setze és dem Absoluten strengstens entgegen.»
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ §3.2, Ignacio Jané42(3)
- 375–402.doi:10.1007/BF01129011.Consultat el 19 de setembre de 2025.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Georg Cantor (1932). Ernst Zermelo (ed.). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Verlag von Julius Springer. Citat com Cantor 1883b per Jané; en biografia d'Adolf Fraenkel; reimpreso en Hildesheim: Georg Olms, 1962, i Berlín: Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-09849-6.
- ↑ Georg Cantor(1883).21(4)
- 545–591.Consultat el 19 de setembre de 2025. Artícul original.
- ↑ Infinity: New Research and Frontiers de Michael Heller i W. Hugh Woodin (2011), p. 11.
- ↑ (2024).Springer.95
- 233-256.doi:10.1007/s11153-023-09897-8.Consultat el 18 de giner de 2025.
- ↑ Gesammelte Abhandlungen, Georg Cantor, ed. Ernst Zermelo, Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchhandlung, 1962, pp. 443–447; traduït a l'anglés en From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, ed. Jean van Heijenoort, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, pp. 113–117. Estes referències afirmen ser una carta de Cantor a Dedekind, datada el 28 de juliol de 1899. No obstant, com va descobrir Ivor Grattan-Guinness, açò és en realitat una amalgama per l'editor de Cantor, Ernst Zermelo, de dos cartes de Cantor a Dedekind, la primera datada el 28 de juliol i la segona el 3 d'agost.
- ↑ The Rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence, I. Grattan-Guinness, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), pp. 104–139, at p. 126 ff.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Erkenntnis.46
- 375–402.
- Infinity and the Mind, Rudy Rucker, Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press, 1995, ISBN 0-691-00172-3; pub. orig. Boston: Birkhäuser, 1982, ISBN 3-7643-3034-1.
- The Infinite, A. W. Moore, Londres, Nova York: Routledge, 1990, ISBN 0-415-03307-1.
- Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus, A. W. Moore, Analysis 45, #1 (giner de 1985), pp. 13–20.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Infinito absoluto» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.