Integral senoidal

La funció Si(x)

La integral senoidal és la funció definida per mig de l'integració de la funció sinc (sen cardinal):

$\text{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\text{sinc}(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt$

Esta integral no pot expressar-se en térmens de funcions elementals. Per mig d'una integració terme a terme, es veu que l'integral senoidal pot expressar-se com una série:

$\text{Si}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\dots$

Propietats

Algunes propietats de l'integral senoidal són:

• En ser l'integral d'una funció parell, és una funció impar, açò és, Si(-x) = -Si(x).
• El valor de Si(x) quan x tendix a infinit és el llímit:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{Si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt=\frac{\pi }{2}$

Aixina mateix, el valor de Si(x) quan x tendix a menys infinit és $-\frac{\pi }{2}$.

Funcions associades

Sen Integral

Gràfic de Si(x) per a 0 ≤ x ≤ 8π.

Les diferents definicions són:

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{sen}t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}t}{t}dt$

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ és la primitiva de $\mathrm{sen}x/x$ que és zero per a $x=0$; $\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$ és la primitiva de $\mathrm{sen}x/x$ que és zero per a $x=\mathrm{\infty }$. Es deu distinguir que $\frac{\mathrm{sen}t}{t}$ és la Funció sinc i també la funció esfèrica de Bessel: $j_n,y_n$ d'orde zero. Quan $x=\mathrm{\infty }$, es coneix com l'Integral de Dirichlet.

Es definix la funció integral senoidal complementària com:

$\text{si}(x)=\text{Si}(x)-\frac{\pi }{2}=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt$

Coseno Integral

Gràfic de Ci(x) per a 0 < x ≤ 8π.

Es definix la funció integral cosenoidal com:

$\text{ci}(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t)}{t}dt$

Les diferents definicions són:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$ és la primitiva de $\cos x/x$ que és zero per a $x=\mathrm{\infty }$. Es té:

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

Vore també

• Integral trigonométrica cardinal
• Funció sinc
• Funció real
• Funcions trigonométricas

Referències

• Kreyszig, Erwin, Matemàtiques alvançades per a ingenieria.