La variació quadràtica

En matemàtiques, la descomposició de Gundy, en traces generals, demostra que una martingala acotada pot ser escrita (i, per tant, descompondre's), en suma de tres martingales diferents, les quals, presenten propietats específiques i cotes concretes. De la mateixa manera que la descomposició de Calderón-Zygmund, la variació quadràtica és considerada una tècnica provabilística en rellevant aplicació en el camp del anàlisis matemàtic.

Contextualización i notació de la teorema

En els últims dos sigles, l'us de tècniques provabilístiques s'ha convertit en un recurs especialment útil en diverses branques del anàlisis. En particular, la descomposició de Gundy és una ferramenta de l'anàlisis provabilístic utilisada per a demostrar resultats de acotación dèbil-(1,1) per a una funció integrable en un espai de provabilitat.

Siga $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ un espai de provabilitat en una filtració associada $\{{\Sigma }_n{\}}_n$. Per a tota funció $f\in L^1(\Omega )$, utilisant l'operador esperança condicionada, podem definir una successió de funcions mesurables $\{E_n(f){\}}_n$ que satisfan la propietat de martingala.

En abús de notació, designarem per $f$ a dita seqüència de variables aleatòries $f=(f_1,f_2,\dots )$ definides en el mateix espai de provabilitat $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ en la mateixa filtració associada $\{{\Sigma }_n{\}}_n$. La variable aleatòria $f_n=E_n(f)$ és mesurable en respecte ${\Sigma }_n\subset \Sigma$ per a cada $n\ge 1$.

Ademés, definim $D(f)=(d{f}_1,d{f}_2,\dots ,d{f}_k=f_{k+1}-f_k,\dots )$ com la seqüència d'increments $f$ (també coneguda com a seqüència de diferències de martingala), de modo que $f_k=\sum _{k=1}^{n}d{f}_k$.

Denotem la norma de la martingala $\Vert f{\Vert }_p=\underset{k}{\sup }\Vert f_k{\Vert }_p$, a on $\Vert f_k{\Vert }_p$ és la norma $L_p$ habitual de la variable aleatòria $f_k$, per a $1\le p\le \mathrm{\infty }$.

Denotarem $C$ com una constant real positiva, no sempre en el mateix valor en cada una de les llínees.

Les seqüències de variables aleatòries s'agregaran de manera natural: considerem $f,g$ dos seqüències de variables aleatòries, llavors $f+g=(f_1+g_1,f_2+g_2,\dots )$. Per últim, $f^{*}=\underset{n}{\sup }|f_n|$ designarà la funció maximal aplicada a la martingala.

La descomposició de Gundy

Siga $f\in L^1(\Omega )$. Per a qualsevol valor real $\lambda >0$, la martingala associada a $f$ pot descompondre's en tres martingales $a,b,d$ de la següent manera:

$a=(a_1,a_2,\dots )$ és una martingala acotada en $L^1$ que complix:

• $a_n=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k$.
• $\Vert a{\Vert }_1\le C\Vert f{\Vert }_1$, a on $C$ és una constant positiva real.
• La seqüència d'increments $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots )$ satisfà que $P({\alpha }^{*}\ne 0)\le \frac{C\Vert f{\Vert }_1}{\lambda }$.

$b=(b_1,b_2,\dots )$ és absolutament convergent i té les següents propietats:

• $b_n=\sum _{k=1}^n{\beta }_k$.
• $\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\beta }_k|{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_1$.

$d=(d_1,d_2,\dots )$ està uniformemente acotada i satisfà les següents estimacions:

• $d_n=\sum _{k=1}^n{\delta }_k$.
• $\Vert d{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C\lambda$.
• $\Vert d{\Vert }_1\le C\Vert f{\Vert }_1$.
• $\Vert d{\Vert }_2^2\le C\lambda \Vert f{\Vert }_1$.

Vore també

• Per a consultar un atre eixemple de descomposició, en este cas aplicat al cas ${ℝ}^n$, consultar la descomposició de Calderón-Zygmund [1]

Teoria de martingales.

• Temps de parada (stopping clave)

Referències

Burkholder, D. L. (1966). Martingale transforms. The Annals of Mathematical Statistics, 37(6), 1494-1504.1

Gundy, R. (1969). On the class LlogL, martingales, and singular integrals. Studia Mathematica, 1(33), 109-118.2

Burkholder, D. L. (1973). Distribution function inequalities for martingales. the Annals of Probability, 1(1), 19-42.3