Lema de Gronwall

El lema de Gronwall establix una cota superior per a les funcions no negatives que puguen acotar-se per una funció llineal de la seua integral. Este lema és de gran utilitat per a provar la continuïtat i unicitat de solucions d'equacions diferencials ordinàries.

Enunciat i demostració

Sean $f:I\subseteq ℝ\to ℝ$ i $x_0\in I$ tals que:

$0\le f(x)\le A+B\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}f(s)ds\mathrm{\forall }x\in I$.

en A i B ≥ 0 constants.

Llavors:

$f(x)\le A{e}^{B(x-x_0)}$

Demostració

Siga $G(x)=\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}f(s)ds$. Per l'hipòtesis es té que:

$G^{\prime }(x)-BG(x)\le A$

Després, multiplicant abdós membres per $e^{-B(x-x_0)}$ s'obté:

$e^{-B(x-x_0)}{G}^{\prime }(x)-B{e}^{-B(x-x_0)}G(x)\le e^{-B(x-x_0)}A$

que equival a:

$(e^{-B(x-x_0)}G(x){)}^{\prime }\le A{e}^{-B(x-x_0)}$

Integrant entre $x_0$ i $x$:

$\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}(e^{-B(s-x_0)}G(s){)}^{\prime }ds\le A\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}{e}^{-B(s-x_0)}ds$

$e^{-B(x-x_0)}G(x)-G(x_0)\le -\frac{A}{B}(e^{-B(x-x_0)}-1)$

Per com va ser definida, $G(x_0)=0$. Multiplicant ara per $e^{B(x-x_0)}$ :

$G(x)\le \frac{A}{B}(e^{B(x-x_0)}-1)$

Si reemplacem l'integral per G en l'equació original:

$f(x)\le A+B\frac{A}{B}(e^{B(x-x_0)}-1)$

D'a on es deduïx que:

$f(x)\le A{e}^{B(x-x_0)}$