Llongitut d'ona tèrmica de De Broglie

En física, la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie ($\lambda$) és bàsicament el promig de la llongitut d'ona de De Broglie de les partícules en un gas ideal a una temperatura específica. Podem prendre la separació promig entre partícules en un gas, aproximadament com (V/N)^1/3, a on V és el volum i N és el número de partícules. Quan la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie és molt menor a la distància entre partícules, el gas pot considerar-se com a «clàssic» o com un gas de Maxwell-Boltzmann. Per un atre costat, quan la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie és de l'orde o major que la distància entre partícules, els efectes quàntics dominaran, i el gas deu ser tractat ya siga com un gas de Fermi o un gas de Bose, depenent de la naturalea de les partícules. La temperatura crítica és el punt de transició entre estos dos règims. A esta temperatura crítica, la llongitut d'ona tèrmica serà aproximadament igual a la distància entre partícules. És dir, la naturalea quàntica del gas serà evident para

$\frac{V}{N{\lambda }^3}\le 1\text{ o bien, }{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\le \lambda ,$

és dir, quan la distància entre partícules és menor que la llongitut d'ona de De Broglie. En este cas, el gas obedirà l'estadística de Bose-Einstein o l'estadística de Fermi-Dirac, depenent de quin siga l'apropiada. Est és, per eixemple, el cas d'electronés en un metal típic a T = 300 K; el gas d'electrons obedix l'estadística de Fermi-Dirac. Un atre eixemple és un condensado de Bose-Einstein.

Per un atre costat, para

$\frac{V}{N{\lambda }^3}\gg 1\text{ o bien, }{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\gg \lambda$

és dir, quan la distncia entre partícules és molt major que la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie, el gas obedirà l'estadística de Maxwell-Boltzmann. Est és el cas per a neutrons tèrmics produïts per una font de neutrons.

Partícules en massa

Per a un gas ideal lliure de partícules en massa (sense graus de llibertat interns) en equilibri, la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie pot obtindre's a través de la llongitut d'ona de De Broglie típica:

$\lambda =\frac{h}{p}$.

Substituint el moment p per l'energia cinètica I_K = p²/2m:

$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m{E}_K}}$.

Llavors, en el cas quàntic, l'energia cinètica promig de les partícules lliures és I_K = πkT.

$\lambda =\sqrt{\frac{h^2}{2\pi mkT}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}},$

En el cas clàssic, l'energia cinètica promig de les partícules lliures és I_K= 3 kT/2.

$\lambda =\frac{h}{\sqrt{3mkT}},$

a on h és la constant de Planck, m és la massa d'una partícula del gas, k és la constant de Boltzmann, i T és la temperatura del gas.

Partícules sense massa

Per a una partícula sense massa, la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie pot definir-se com:

$\Lambda =\frac{ch}{2{\pi }^{1/3}kT},$

a on c és la velocitat de la llum. De la mateixa manera que en el cas de la llongitut d'ona tèrmica per a partícules en massa, en este cas Λ és de l'orde de la llongitut d'ona promig de les partícules en el gas, i definix un punt crític en el qual els efectes quàntics comencen a dominar. Per eixemple, quan s'observa l'espectre a llongituts d'ona grans de la radiació de cos negre, es pot aplicar la llei de Rayleigh-Jeans «clàssica». No obstant, quan la llongitut d'ona observada s'aproxima a la llongitut d'ona tèrmica dels fotonés del cos negre que irradia, l'es deu utilisar la llei de Planck quàntica.