Método de punts finitos

El método de punts finitos (FPM) és un método sense malla per a resoldre equacions diferencials parcials (EDP) en distribucions disperses de punts. El FPM va ser propost a mitan dels anys noranta en (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz i Taylor, 1996a), (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor i Sacco, 1996b) i (Oñate i Idelsohn, 1998a) en el propòsit de facilitar la resolució de problemes que impliquen geometria complexes, superfícies lliures, llímits mòvils i refinament adaptatiu. Des de llavors, el FPM ha evolucionat considerablement, mostrant una precisió satisfactòria i capacitat per a abordar diferents problemes de mecànica de decorreguts i mecànica de sòlits deformables.

Història

De la mateixa manera que atres métodos sense malla per a equacions diferencials parcials (EDP), el método de punts finitos (FPM) té el seu orige en tècniques desenrollades per a l'ajust i interpolació de senyes disperses, bàsicament en la llínea dels métodos de mínims quadrats ponderats (WLSQ). Estos últims poden considerar-se formes particulars del método de mínims quadrats mòvils (MLS) propost per Lancaster i Salkauskas. Els métodos WLSQ s'han utilisat àmpliament en tècniques sense malla perque permeten conservar la major part de el MLS, pero són més eficients i senzills d'implementar. En estos objectius en ment, es va iniciar una destacada investigació que va conduir al desenroll de el FPM en (Oñate, Idelsohn i Zienkiewicz, 1995a) i (Taylor, Zienkiewicz, Oñate i Idelsohn, 1995). La tècnica proposta es caracterisava per aproximacions WLSQ sobre núvols locals de punts i un procediment de discretización d'equacions basat en la colocalización de punts (en la llínea dels treballs de Batina, 1989, 1992). Les primeres aplicacions de el FPM es varen centrar en problemes de fluix compresible adaptatiu (Fischer, Oñate i Idelsohn, 1995; Oñate, Idelsohn i Zienkiewicz, 1995a; Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz i Fisher, 1995b). També es varen analisar els efectes sobre l'aproximació dels núvols locals i les funcions de ponderació utilisant bases polinòmiques llineals i quadràtiques (Fischer, 1996). Estudis adicionals en el context de problemes de convecció-difusió i fluix incompresible varen proporcionar a el FPM una base més sòlida; vore (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz i Taylor, 1996a) i (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor i Sacco, 1996b). Estos treballs i (Oñate & Idelsohn, 1998) varen definir la tècnica bàsica de el FPM que s'utilisa en l'actualitat.

Aproximació numèrica

Archiu:Caps block 15 numerical approximation scheme.tif

Esquema d'aproximació numèrica de el FPM

L'aproximació en el FPM pot resumir-se de la següent manera. Per a cada punt $x_i$ en el domini d'anàlisis $\Omega$ (punt estrela), es construïx localment una solució aproximada utilisant un subconjunt de punts de respal circumdants $x_j$, que pertanyen al domini del problema (núvol local de punts ${\Omega }_i$). L'aproximació es calcula com una combinació llineal dels valors nodales desconeguts del núvol (o paràmetros) i certs coeficients mètrics. Estos s'obtenen resolent un problema WLSQ a nivell del núvol, en el que es minimisen les distàncies entre els paràmetros nodales i la solució aproximada en un sentit LSQ. Una volta coneguts els coeficients mètrics de l'aproximació, les equacions diferencials parcials (PDE) que rigen el problema es muestrean en cada «punt estrela» utilisant un método de colocalización. Les variables contínues (i les seues derivades) se substituïxen en les equacions muestreadas per les formes discretes aproximades, i la solució del sistema resultant permet calcular els valors nodales desconeguts. D'esta manera, es pot obtindre la solució aproximada que satisfà les equacions que rigen el problema. És important senyalar que el caràcter altament local de el FPM fa que el método siga adequat per a implementar esquemes de solució paralels eficients.

La construcció de l'aproximació típica de el FPM es descriu en (Oñate & Idelsohn, 1998). Es pot trobar un anàlisis dels paràmetros d'aproximació en (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007) i es porta a terme un estudi més exhaustiu en (Ortega, 2014). També s'han propost atres enfocaments; vore, per eixemple, (Boroomand, Tabatabaei i Oñate, 2005). En (Boroomand, Najjar i Oñate, 2009) es presenta una extensió de l'aproximació FPM.