Matriu antihermitiana

En àlgebra llineal, una Matriu antihermitiana és una matriu quadrada que la seua trasponer conjugada és menys la matriu. Açò és si satisfà a la relació:

$(A^T{)}^{*}$ $=-A$

o en la seua forma component, si ($A=a_{i,j}$):

$a_{i,j}=-\overline{a_{j,i}}$

Per a totes les i i les j.

Eixemple

Per eixemple, la següent matriu és una matriu antihermitiana:

$\left(\begin{array}{cc}i& 2+i\\ -2+i& 3i\end{array}\right)$

Propietats

• 1. Els autovalores d'una matriu antihermitiana són tots imaginaris purs. És més, les matrius antihermitianas són matrius normals. Per lo tant, són diagonalisables i els seus autovectores para distints autovalores són ortogonals.
• 2. Si A és antihermitiana llavors iA és hermitiana.
• 3. Si A,B és antihermitiana, llavors aA+bB és antihermitiana para tots els escalares reals de a,b.
• 4. Si A és antihermitiana, llavors A^2k és hermitiana para tots els naturals k.
• 5. Si A és antihermitiana, llavors A^2k+1 és antihermitiana para tots els naturals k.
• 6. Si A és antihermitiana, llavors i^A és matriu unitària.
• 7. La diferència entre una matriu i la seua trasponer conjugada ($C-C^{*}$) és antihermitiana.
• 8. Una matriu quadrada arbitrària C pot ser escrita com la suma de la matriu hermitiana A i la matriu antihermitiana B:

$C=A+B\text{para}A=\frac{1}{2}(C+C^{*})\text{y}B=\frac{1}{2}(C-C^{*}).$

Vore també

• Matriu hermitiana
• Matriu identitat
• Matriu unitària