Matriu de diagonal estrictament dominant

En matemàtiques, i concretament en àlgebra llineal, una matriu és de diagonal estrictament dominant, quan lo és per files o per columnes.

Ho és per files quan, per a totes les files, el valor absolut de l'element de la diagonal d'eixa fila és estrictament major que la norma del restant d'elements d'eixa fila. Ho és per columnes quan, per a totes les columnes, el valor absolut de l'element de la diagonal d'eixa columna és estrictament major que la norma del restant d'elements d'eixa columna.

Formalment, es diu que la matriu A de n x n és estrictament diagonal dominant per files quan se satisfà:

$| a_{i, i} | > \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} | a_{i, j} |, \forall i \in ℕ : 1 \leq i \leq n$

Lema d'Hadamard

Enunciat

Si $A = ((a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]})$ és una matriu de diagonal estrictament dominant, llavors $A$ és invertible.

Demostració

Per Contrarrecíproco. Supongam que $A$ no és invertible, llavors el seu núcleu no es reduïx a zero
existix llavors un vector : $X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) \neq 0$ tal que $A X = 0$ .
Llavors, es té que: $\forall i \in [[1, n]], \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} = 0.$
Com $X \neq 0$ , existix $x_{i_{0}} \neq 0$ tal que $| x_{i_{0}} | = \max {| x_{i} |, i \in [[1, n]]}$ .
Tenim : $- a_{i_{0}, i_{0}} x_{i_{0}} = \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i_{0}}}^{n} a_{i_{0}, j} x_{j}$ , d'a on $| a_{i_{0}, i_{0}} x_{i_{0}} | ⩽ \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i_{0}}}^{n} | a_{i_{0}, j} x_{j} |$ ,
i com : $\forall j \in [[1, n]], \frac{| x_{j} |}{| x_{i_{0}} |} ⩽ 1$ ,
s'obté $| a_{i_{0}, i_{0}} | ⩽ \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i_{0}}}^{n} | a_{i_{0}, j} | \frac{| x_{j} |}{| x_{i_{0}} |} ⩽ \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i_{0}}}^{n} | a_{i_{0}, j} |$
Finalment, $| a_{i_{0}, i_{0}} | ⩽ \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i_{0}}}^{n} | a_{i_{0}, j} |$ , en lo que culmina la demostració.

Podem enunciar a partir d'esta definició la següent teorema de convergència aplicable als processos iterativos de Jacobi i Gauss Seidel:

Siga A una matriu quadrada, si A és diagonal dominant, els métodos iterativos de Jacobi i Gauss-Seidel convergixen a la solució del sistema d'equacions Ax=b.

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz de diagonal estrictamente dominante» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.