Matriu elemental

Una matriu elemental d'orde n és una matriu que s'obté a partir de la matriu identitat $I_n$ aplicant solament una operació elemental de fila o columna, i,i:

• Per escalamiento
• Producte de fila per un escalar o suma d'una fila en una combinació llineal d'atres (eliminació)
• Per permutació (Intercanvi de files)

Propietats

Es pot provar fàcilment que el producte d'una matriu qualsevol en una elemental per l'esquerra equival a realisar les operacions elementals entre les files de la matriu A. És fàcil vore que estes matrius tenen inverses (eventualment, també elementals), i estes poden ser calculades de manera simple pensant en elles com a matrius A a les que es deu aplicar l'operació "inversa".

Per eixemple, per al cas d'una matriu obtinguda per escalamiento:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$ Volem que l'element $a_{33}$ siga 1. Llavors: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1/a\end{array}\right)$

En el cas d'una matriu obtinguda per eliminació:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ Volem que l'element $a_{21}$ siga 0. Llavors: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -a& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Descomposició de matrius com a producte de matrius elementals

Siga la matriu A en ${ℳ}_{n\times m}$, si A és invertible (en que el seu case m=n) la solució del sistema $A\cdot X=I_n$ per eliminació gaussiana seria: $(A|I_n)⟶(I_n|A^{-1})$ que es porta a terme per mig de l'aplicació d'un conjunt finito d'operacions elementals de fila, és dir, per mig del producte a esquerra de la matriu original per matrius elementals, i,i:

$E_1\cdot E_2\cdot \cdot \cdot E_k\cdot A=I_n$ , després

$A=E_k^{-1}\cdot \cdot \cdot E_2^{-1}\cdot E_1^{-1}$

en a on cada $E_i$ és una matriu elemental. Per tant, ya que l'inversa d'una elemental, és elemental, tota matriu invertible pot escriure's com a producte de tals matrius. cal notar la similitut de rol d'estes matrius en els número primo.