Model vibracional i rotacional nuclear

El model vibracional i rotacional per a núcleus intenta descriure les propietats dels núcleus atòmics sense recórrer al seu estructura interna. El seu método és recórrer a unes coordenades colectives que descriguen el moviment de la “superfície” del núcleu.

Desenrolle

El model partix de la forma explícita del hamiltoniano vibracional, que sorgix com una de les primeres aproximacions de models colectius de núcleus. Per a parametrizar la superfície nuclear s'ampren per conveniència les coordenades colectives. Estes coordenades ${\alpha }^{[\lambda ]}={\left\{{\alpha }_{\lambda \mu }\right\}}_{\mu =-\lambda }^{\mu =\lambda }$ s'establixen a partir del desenroll de la superfície del núcleu en harmònics esfèrics:

D'esta manera, les coordenades colectives descriuen oscilacions de la superfície nuclear.

Les coordenades transformen com un tensor de ranc $\lambda$ baixe la representació $(2\lambda +1)-$dimensional de $\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$, de la forma:

a on $D_{\nu \mu }^{\lambda }({\theta }_i)$ formen la representació irreducible del grup.

Estes noves coordenades $a_{\lambda \mu }$ seran les coordenades colectives vistes des d'un sistema de referència rotado respecte del que apareix en la primera equació. Per a descriure la superfície nuclear en térmens del nou sistema de referència (sistema intrínsec) també deuran transformar-se els harmònics esfèrics (i aixina canviar els ànguls de Euler) de modo que,

$Y_{\lambda \mu }({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })=\sum _{\nu }{D}_{\nu \mu }^{\lambda }({\theta }_j)Y_{\lambda }(\theta ,\varphi ).$

En el MRV nos centrarem en ${\alpha }_{2\mu }$; ya que $\lambda =0$ afecta a canvis de volum i considerem la matèria nuclear incompresible, $\lambda =1$ afecta a translacions del centre de massa. Per tant, descriurem oscilacions cuadrupolares: núcleus axialmente deformats.

Energia potencial

Archiu:Potencial-colectivo-nuclear.png

Potencial harmònic en terme de coordenades colectives. Pot observar-se el mínim en (a0,a2) = (β0,0).

Estes oscilacions al voltant d'una configuració estable seran menudes, i podrem supondre que l'energia potencial en funció de les coordenades cuadrupolares vindrà donada per la forma:

a on podem expressar-la en funció de les coordenades $a_{\lambda \mu }$ per ser un escalar. Pel mateix motiu acoplem a zero en cada sumant. Els paràmetros $C_i$ són paràmetros de rigidea.

Fem explícits els acoplament (coeficients de Clebsh-Gordan) i obtenim:

$V(a_0,a_2)=\frac{C_2}{2}(a_0^2+2a_2^2)+\sqrt{\frac{2}{35}}{C}_3{a}_0(6a_2^2-a_0^2)+\frac{C_4}{5}(a_0^2+2a_a^2{)}^2$

El potencial té un mínim en la posició $(a_0,a_2)=({\beta }_0,0)$, tal com apareix en la figura. Suponent oscilacions menudes, puc desenrollar el potencial al voltant d'eixa posició de mínim a partir d'una translació donat per $ϵ$ i $\eta$, desviacions de la situació d'equilibri. Incloent només térmens quadràtics en el desenroll el potencial queda:

$V(ϵ,\eta )=\frac{1}{2}{C}_0{ϵ}^2+C_2{\eta }^2.$

Energia cinètica

l'energia cinètica clàssica serà:

$T({\pi }^{[2]},{\alpha }^{[2]})=\frac{\sqrt{5}}{2B_2}{[{\pi }^{[2]}\otimes {\pi }^{[2]}]}^{[0]}+B_3{[{[{\pi }^{[2]}\otimes {\alpha }^{[2]}]}^{[0]}\otimes {\pi }^{[2]}]}^{[0]}+\mathrm{...}$

fent explícits els acoplament i ímpetus conjugats ${\pi }^{[2]}$, podem aplegar a la coneguda expressió de l'energia cinètica clàssica,:

$T=\frac{1}{2}B\sum _{\mu }(-1{)}^{\mu }{\dot{\alpha }}_{\mu }{\dot{\alpha }}_{-\mu }.$

havent tingut que passar de les coordenades del laboratori a les del sistema intrínsec i aplegar, en el procés, a la construcció dels moments d'inèrcia $I_k.$ El paràmetro B és un terme de massa.

En un procés de cuantización de l'energia cinètica clàssica, apleguem a les següents expressions de l'energia cinètica $T=T_{rot}+T_{vib}$:

${\hat{T}}_{rot}=\sum _{k=1}^3\frac{{\widehat{ℳ}}_k^2}{2{ℐ}_k}=\sum _{k=1}^3\frac{{\hslash }^2{\hat{L}}_k^2}{2{ℐ}_k}$

${\hat{T}}_{vib}=\frac{{\hslash }^2}{2B}[\underset{a_0}{\overset{2}{\partial }}+\frac{1}{2}\underset{a_0}{\overset{2}{\partial }}+\frac{3a_0^2+6a_2^2}{8a_2^2(3a_0^2-2a_2^2{)}^2}]$

i el hamiltoniano pren la forma,

$\mathscr{H}=\hat{T}+V(a_0,a_2)$.

Referències

Bibliografia

• Eisenberg, J.M. and Greiner, W. (1975). Nuclear models.

Vore també

• Estructura nuclear