Número altament cototiente

En teoria de números, una branca de les matemàtiques, un número altament cototiente és un número entero $k$ positiu que està per damunt d'1 i per al que l'equació

$x-\varphi (x)=k$

posseïx més solucions que qualsevol un atre sancer per baix de $k$ i per damunt d'1. Ací, $\varphi$ és la funció φ de Euler. Hi ha infinites solucions per a l'equació en

$k$ = 1

per lo que este valor està exclós en la definició. Els primers números altament cototientes són:

2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049 , 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... Plantilla:OEIS

Molts dels números altament cototientes són impars. De fet, despuix de 8, tots els números enumerats dalt són impars, i despuix de 167 tots els números enumerats dalt són congruents en 29 mòdul 30.

El concepte és alguna cosa anàlec al de número altament compost. Aixina com hi ha un número infinit de números altament composts, també hi ha un número infinit de números altament cototientes. Els càlculs involucrats són més difícils, ya que la factorización de sancers es torna més difícil a mida que els números aumenten.

Eixemple

El cototiente de $x$ es definix com $x-\varphi (x)$, és dir, el número de sancers positius menors o iguals a $x$ que tenen a lo manco un factor primer en comú en $x$. Per eixemple, el cototiente de 6 és 4, ya que estos quatre sancers positius tenen un número primo en comú en 6: 2, 3, 4, 6. El cototiente de 8 també és 4, esta volta respecte a estos sancers: 2, 4, 6, 8. Hi ha exactament dos números, 6 i 8, que tenen cototiente 4. Hi ha menys números que tenen cototiente 2 i cototiente 3 (un número en cada cas), per lo que 4 és un número altament cototiente.

k (els k altament cototientes figuren en negreta)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Número de solucions per a x – φ(x)= k	1	∞	1	1	2	1	1	2	3	2	0	2	3	2	1	2	3	3	1	3	1	3	1	4	4	3	0	4	1	4	3

n	Valors de k tals que $k-\varphi (k)=n$	Número de valors k tals que $k-\varphi (k)=n$ Plantilla:OEIS
0	1	1
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... (tots primers)	∞
2	4	1
3	9	1
4	6, 8	2
5	25	1
6	10	1
7	15, 49	2
8	12, 14, 16	3
9	21, 27	2
10		0
11	35, 121	2
12	18, 20, 22	3
13	33, 169	2
14	26	1
15	39, 55	2
16	24, 28, 32	3
17	65, 77, 289	3
18	34	1
19	51, 91, 361	3
20	38	1
21	45, 57, 85	3
22	30	1
23	95, 119, 143, 529	4
24	36, 40, 44, 46	4
25	69, 125, 133	3
26		0
27	63, 81, 115, 187	4
28	52	1
29	161, 209, 221, 841	4
30	42, 50, 58	3
31	87, 247, 961	3
32	48, 56, 62, 64	4
33	93, 145, 253	3
34		0
35	75, 155, 203, 299, 323	5
36	54, 68	2
37	217, 1369	2
38	74	1
39	99, 111, 319, 391	4
40	76	1
41	185, 341, 377, 437, 1681	5
42	82	1
43	123, 259, 403, 1849	4
44	60, 86	2
45	117, 129, 205, 493	4
46	66, 70	2
47	215, 287, 407, 527, 551, 2209	6
48	72, 80, 88, 92, 94	5
49	141, 301, 343, 481, 589	5
50		0

Cosins

Els primers números altament cototientes primers són

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4709, 58409 , 6089, 6719, 9029, 9239, ... Plantilla:OEIS

Vore també

• Número altament totiente