Números sociables

El concepte de número sociable és la generalisació dels conceptes de números amics i número perfecte. Un conjunt de números sociables és una successió alícuota, o una successió de números en que cada terme és igual a la suma dels factorés propis del terme anterior. En el cas dels números sociables, la successió és cíclica, és dir, els térmens es repetixen.

El periodo d'esta successió, o l'orde del conjunt de números sociables, és el número de térmens de la successió que hi ha en el cicle. Si el periodo de la successió és 1, el número és un número sociable d'orde 1, o un número perfecte. Per eixemple, 6 té per factors propis els números 1, 2 i 3, que a la seua volta sumen 6. Un parell de números amics és un conjunt de números sociables d'orde 2. No es coneixen, pel moment, números sociables d'orde 3.

És una pregunta oberta si tots els sancers són, o ben sociables, o be la seua successió alícuota acaba en un primer (i, com a conseqüència, en 1); o si, pel contrari, existix algun número la successió del qual alícuota mai acaba.

Eixemple

He ací un eixemple en periodo 4:

• La suma dels factors propis de 1264460 (2² · 5 · 17 · 3719) és:

  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860

• La suma dels factors propis de 1547860 (2² · 5 · 193 · 401) és:

  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636

• La suma dels factors propis de 1727636 (2² · 521 · 829) és:

  1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184

• La suma dels factors propis de 1305184 (2⁵ · 40787) és:

  1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460

Els més senzills (en els sancers més menuts) són:

12 496 → 14 288 → 15 472 → 14 536 → 14 264 → ... de cinc térmens,

hi ha un atre de vintihuit térmens, i est de quatre:

1 264 460 → 1 547 860 →1 727 636 → 1 305 184 → ...

El primer d'ells va ser trobat per Poulet en 1918, i els últims, inclós el mostrat, per Henri Cohen en 1969.

Vore també

• Número perfecte
• Números amics