Números amics
 |
Esta pàgina de desambiguació enumera artículs que tenen títuls similars. |
Es denominen números amics a dos número natural diferents relacionats de tal manera que la suma dels divisores propis de cada u és igual a l'atre número. És dir, σ(a)=b i σ(b)=a, a on σ(n) és igual a la suma dels divisores propis de n (vore també la funció divisor).
El parell més chicotet de números amics és (220, 284), i són amics perque els divisores propis de 220 són 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, dels quals la suma és 284; i els divisores propis de 284 són 1, 2, 4, 71 i 142, dels quals la suma és 220 (un divisor propi d'un número és un factor positiu d'eixe número que no siga el propi número. Per eixemple, els divisores propis de 6 són 1, 2 i 3, pero no 6).
Els primers dèu parells de números amics són: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) i (66928, 66992). Plantilla:OEIS (vore també Plantilla:OEIS i Plantilla:OEIS) Es desconeix si hi ha infinits parells de números amics.
Un parell de números amics constituïx una successió alícuota de periodo 2. Un concepte relacionat és el de número perfecte, que és un número que és igual a la suma de "els seus" divisores propis, en atres paraules, un número que forma una seqüència alícuota de periodo 1. Els números que són membres d'una seqüència alícuota en un periodo major que 2 es coneixen com números sociables.
Història
[editar | editar còdic]Els números amics eren coneguts pels pitagórico, els qui els atribuïen moltes propietats místiques. El matemàtic iraquí Thábit ibn Qurra (826–901) va inventar una fòrmula general per mig de la qual es podien trobar alguns d'estos números al voltant de l'any 850. Atres matemàtics àraps que varen estudiar els números amics varen ser al-Majriti (fallit en 1007), al-Baghdadi (980–1037) i al-Fārisī (1260–1320). El matemàtic iraní Muhammad Baqir Yazdi (XVI) va descobrir el parell (9363584, 9437056), encara que este guany a sovint s'ha atribuït a Descartes.[1] Gran part del treball de la matemàtica islàmica en esta àrea ha segut oblidat.
La fòrmula de Thābit ibn Qurra va ser redescubierta per Fermat (1601–1665) i Descartes (1596–1650), a els qui a voltes se'ls atribuïx, i estesa per Euler (1707–1783). Va ser ampliada encara més per Borho en 1972. Fermat i Descartes també redescubrieron parells de números amics coneguts pels matemàtics àraps. Euler també va descobrir dotzenes de nous parells.[2] El segon parell més menut, (1184, 1210), va ser descobert en 1867 per B. Nicolò I. Paganini (que no deu confondre's en el compositor i violiniste), de 16 anys, despuix d'haver segut passat per alt per matemàtics anteriors.[3][4]
| # | m | n |
|---|---|---|
| 1 | 220 | 284 |
| 2 | 1184 | 1210 |
| 3 | 2620 | 2924 |
| 4 | 5020 | 5564 |
| 5 | 6232 | 6368 |
| 6 | 10 744 | 10 856 |
| 7 | 12 285 | 14 595 |
| 8 | 17 296 | 18 416 |
| 9 | 63 020 | 76 084 |
| 10 | 66 928 | 66 992 |
Cap a 1946 hi havia 390 parells coneguts, pero l'arribada de les computadores ha permés el descobriment de molts mills des de llavors. S'han realisat busques exhaustives per a trobar tots els parells per baix d'un llímit donat, estenent-se este llímit des de 108 en 1970, fins a 1010 en 1986, 1011 en 1993, 1017 en 2015 i fins a 1018 en 2016.
Plantilla:A data de, hi ha més d'1.227.366.104 parelles de números amics conegudes.[5]
Regles per a la generació
[editar | editar còdic]Si be estes regles generen alguns parells de números amics, es coneixen molts atres parells, per lo que estes regles no són exhaustives.
En particular, les dos regles que figuren a continuació produïxen sol parells amics parells, per lo que no són d'interés per al problema obert de trobar parells amics coprimos a 210 = 2·3·5·7, mentres que es coneixen més de 1000 parells coprimos a 30 = 2·3·5 [García, Pedersen & et Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].
Teorema de Thābit ibn Qurra
[editar | editar còdic]La teorema de Thābit ibn Qurra és un método per a descobrir números amics inventat en el IX pel matemàtic àrap Thábit ibn Qurra.[6]
Afirma que si
- p = 3×2n − 1 − 1,
- q = 3×2n − 1,
- r = 9×22n − 1 − 1,
a on n > 1 és un número entero i p, q i r són número primo, llavors 2n×p×q i 2n×r són un parell de números amics. Esta fòrmula dona els parells (220, 284) para n = 2, (17296, 18416) para n = 4 i (9363584, 9437056) para n = 7, pero no es coneixen atres parells. Els números de la forma 3×2n − 1 es coneixen com números de Thabit. Per a que la fòrmula de Ibn Qurra produïxca un parell amic, dos números de Thabit consecutius deuen ser primers; açò restringix severament els possibles valors de n.
Per a establir la teorema, Thâbit ibn Qurra va demostrar nou lemes dividits en dos grups. Els tres primers lemes tracten de la determinació de les parts alícuotas d'un número natural. El segon grup de lemes tracta més específicament de la formació d'número perfecte, abundants i deficients.[7]
Regla de Euler
[editar | editar còdic]La regla de Euler és una generalisació de la teorema de Thâbit ibn Qurra. Afirma que si
- p = (2n − m + 1)×2m − 1,
- q = (2n − m + 1)×2n − 1,
- r = (2n − m + 1)2×2m + n − 1,
a on n > m > 0 són número entero i p, q i r són número primo, llavors 2n×p×q i 2n×r són un parell de números amics. La teorema de Thābit ibn Qurra correspon al cas m = n − 1. La regla de Euler crea parells amics adicionals per a (m,n) = (1,8), (29,40) sense que es coneguen uns atres. Euler (1747 i 1750) en general va trobar 58 parells nous, lo que va aumentar el número de parells coneguts a 61.[2][8]
Referències en la cultura popular
[editar | editar còdic]- Els números amics apareixen en la novela The Housekeeper and the Professor d'Iōko Ogawa i en la película japonesa basada en ella.
- La colecció de contes curts de Paul Auster titulada Contes verdaders de la vida nortamericana conté una història ('Afrodisíac matemàtic' d'Alex Galt) en la que els números amics juguen un paper important.
- Els números amics apareixen breument en la novela The Stranger House de Reginald Hill.
- Els números amics es mencionen en la novela francesa La teorema del loro de Denis Guedj.
- Els números amics es mencionen en el JRPG Shin Megami Tensei: Persona 4.
- Els números amics apareixen en la novela visual Rewrite.
- Els números amics (220, 284) es mencionen en l'episodi 13 del drama coreà Errant de 2017.
- Els números amics apareixen en la película grega The Other Em.
- Els números amics s'analisen en el llibre de Brian Clegg ¿Són reals els números?
- Els números amics es mencionen en la novela de 2020 Apeirogon de Colum McCann.
Vore també
[editar | editar còdic]- Números promesos (números cuasi-amics)
- Triplet de números amics - Variació de tres números dels números amics.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Costello, Patrick. “New Amicable Pairs Of Type (2; 2) And Type (3; 2)”. Mathematics of Computation 72 (241): 489–497. doi:.
- ↑ 2,0 2,1 Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It, Mathematical Association of America, pp. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8.
- ↑ Sprugnoli, Renzo. «Introduzione alla matematica: La matematica della scuola mija» (en it). Universita degli Studi vaig donar Firenze: Dipartimento vaig donar Sistemi i Informatica.
- ↑ Martin Gardner. Mathematical Magic Show, American Mathematical Society, p. 168. ISBN 9781470463588.
- ↑ Sergei Chernykh Amicable pairs list
- ↑ «Thâbit ibn Kurrah Rule».
- ↑ Rashed, Roshdi (1994). The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. (vol. 156), Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, p. 278,279. ISBN 978-0-7923-2565-9.
- ↑ See William Dunham en un video: An Evening with Leonhard Euler – YouTube
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Plantilla:EB1911
- (2004) Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, pp. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4.
- Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, London: Penguin Group, pp. 145–147.
- Amicable Pair en MathWorld.
- Thâbit ibn Kurrah Rule en MathWorld.
- Euler's Rule en MathWorld.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Números amigos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.