Notació de Hermann-Mauguin
La notació de Hermann-Mauguin és usada en geometria per a representar els elements de simetria en els distints casos del grup puntual, del grup del paper pintat i del grup espacial. Du el nom del cristalógrafo alemà Carl Hermann (qui ho va introduir en 1928) i el mineralogista francés Charles-Victor Mauguin (qui ho va modificar en 1931). Esta notació a voltes es diu notació internacional, perque va ser adoptada com a estàndar per les International Tables For Crystallography des de la seua primera edició en 1935.
La notació de Hermann-Mauguin, en comparació a la notació de Schoenflies, es preferix en cristalografia perque es pot usar fàcilment per a incloure elements de simetria traslacional i ademés especifica les direccions dels eixos de simetria.[1]
Grups de punts
[editar | editar còdic]Els eixos de rotació s'indiquen en un número n — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (per a ànguls de rotació φ = Plantilla:Sfrac). Per a les rotacions impròpies, els símbols de Hermann-Mauguin mostren eixos de rotoinversión, a diferència de les notacions de Schoenflies i Shúbnikov, que mostren eixos de rotorreflexión. Els eixos de rotoinversión estan representats pel número corresponent en un macrón, Plantilla:Overline — Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, ... . Plantilla:Overline és equivalent a un pla d'espill i generalment s'indica com a m. La direcció del pla de l'espill es definix com la direcció de la perpendicular a ell (la direcció de l'eix Plantilla:Overline).
Els símbols de Hermann-Mauguin mostren eixos i plans no equivalents de forma simètrica. La direcció d'un element de simetria correspon a la seua posició en el símbol de Hermann-Mauguin. Si un eix de rotació n i un pla especular m tenen la mateixa direcció (és dir, el pla és perpendicular a l'eix n), llavors es denoten com una fracció Plantilla:Sfrac o n /m.
Si dos o més eixos tenen la mateixa direcció, es mostra l'eix en major simetria. Una simetria més alta significa que l'eix genera un patró en més punts. Per eixemple, els eixos de rotació 3, 4, 5, 6, 7, 8 generen patrons de 3, 4, 5, 6, 7 i 8 punts, respectivament. Els eixos de rotació impròpia Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline generen patrons de 6, 4, 10, 6, 14 i 8 punts, respectivament. Si un eix de rotació i un de rotoinversión generen el mateix número de punts, es deu elegir l'eix de rotació. Per eixemple, la combinació Plantilla:Sfrac és equivalent a Plantilla:Overline. Ya que Plantilla:Overline genera 6 punts i 3 genera solament 3, deu escriure's Plantilla:Overline en lloc de Plantilla:Sfrac (no Plantilla:Sfrac, perque Plantilla:Overline ya conté el pla especular m). Análogament, en el cas de que estiguen presents els eixos 3 i Plantilla:Overline, es deu escriure Plantilla:Overline. No obstant, s'escriu Plantilla:Sfrac, no Plantilla:Sfrac, perque tant 4 com Plantilla:Overline generen quatre punts. En el cas de la combinació Plantilla:Sfrac, a on estan presents els eixos 2, 3, 6, Plantilla:Overline i Plantilla:Overline, els eixos Plantilla:Overline, Plantilla:Overline i 6 generen patrons de 6 punts, pero es deu usar este últim perque és un eix de rotació: el símbol serà Plantilla:Sfrac.
Finalment, el símbol de Hermann-Mauguin depén del tipo de grup.
Grups sense eixos d'orde superior (eixos d'orde tres o més)
[editar | editar còdic]Estos grups poden contindre sol eixos de multiplicitat de simetria 2, plans de simetria i/o un centre d'inversió. Estos són el grup de punts cristalográfico 1 i Plantilla:Overline (sistema cristalí triclínic), 2, m i Plantilla:Sfrac (monoclínic), i 222, Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac i mm2 (ortorrómbico). La forma abreviada de Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac és mmm. Si el símbol conté tres posicions, denoten elements de simetria en les tres direccionar x, i, z, respectivament.
Grups en un eix d'orde superior
[editar | editar còdic]- Primera posició — direcció primària — direcció z, assignada a l'eix d'orde superior.
- Segona posició: direccions secundàries simétricamente equivalents, que són perpendiculars a l'eix z. Estes poden ser 2, m o Plantilla:Sfrac.
- Tercera posició — direccionar terciarias simétricamente equivalents, passant entre direccions secundàries. Estes poden ser 2, m o Plantilla:Sfrac.
Estos són els grups cristalográficos 3, 32, 3m, Plantilla:Overline i Plantilla:OverlinePlantilla:Sfrac (sistema cristalí hexagonal), 4, 422, 4mm, Plantilla:Overline, Plantilla:Overline2m, Plantilla:Sfrac i Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac (tetragonal ), i 6, 622, 6mm, Plantilla:Overline, Plantilla:Overlinem2, Plantilla:Sfrac i Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac (hexagonal). Análogament, es poden construir símbols de grups no cristalográficos (en eixos d'orde 5, 7, 8, 9...). Estos grups es poden ordenar segons la següent taula:
Es pot notar que en grups en eixos d'orde impar n i Plantilla:Overline la tercera posició en el símbol sempre està absent, perque totes les direccionar n, perpendicular a l'eix d'orde superior, són simétricamente equivalents. Per eixemple, en l'image d'un triàngul, els tres plans de l'espill (S0, S1, S2) són equivalents: tots passen per un vèrtiç i el centre del costat opost.
Per a eixos d'orde parell n i Plantilla:Overline hi ha direccions secundàries Plantilla:Sfrac i direccions terciarias Plantilla:Sfrac. Per eixemple, en l'image d'un hexàgon regular es poden distinguir dos conjunts de plans d'espill: tres plans passen per dos vèrtiços oposts i atres tres plans passen pels centres de costats oposts. En este cas, qualsevol dels dos conjunts es pot elegir com a direcció secundària, el restant del conjunt serà de direcció terciaria. Per lo tant, els grups Plantilla:Overline2m, Plantilla:Overline2m, Plantilla:Overline2m, ... poden escriure's com Plantilla:Overlinem2, Plantilla:Overlinem2, Plantilla:Overlinem 2, ... . Per a símbols de grups de punts, este orde normalment no importa; no obstant, serà important per als símbols de Hermann-Mauguin dels grups espacials corresponents, a on les direccions secundàries són direccions d'elements de simetria en les translacions de cela unitària b i c, mentres que les direccions terciarias corresponen a la direcció entre les translacions de cela unitària b i c. Per eixemple, els símbols PPlantilla:Overlinem2 i PPlantilla:Overline2m denoten dos grups espacials diferents. Açò també s'aplica als símbols de grups espacials en eixos d'orde impar 3 i Plantilla:Overline. Els elements de simetria perpendicular poden anar en translacions de celes unitàries b i c o entre elles. Els grups espacials P321 i P312 són eixemples dels primers i últims casos, respectivament.
El símbol del grup de punts Plantilla:OverlinePlantilla:Sfrac pot resultar confús; el símbol de Schoenflies corresponent és D3d, lo que significa que el grup consta d'un eix de multiplicitat 3, de tres eixos de multiplicitat 2 perpendicular i de 3 plans diagonals verticals que passen entre estos eixos de multiplicitat 2, per lo que sembla que el grup pot denotar-se com 32m o 3m2. No obstant, es deu recordar que, a diferència de la notació de Schoenflies, la direcció d'un pla en un símbol de Hermann-Mauguin es definix com la direcció perpendicular al pla, i en el grup D3d tots els plans de l'espill són perpendiculars a eixos de multiplicitat 2, per lo que deuen escriure's en la mateixa posició que Plantilla:Sfrac. En segon lloc, estos complexos Plantilla:Sfrac generen un centre d'inversió, que combinat en l'eix de rotació triple genera un eix de rotoinversión Plantilla:Overline.
Els grups en n = ∞ es denominen grups llímit o grups de punts en tres dimensions.
Grups en varis eixos d'orde superior
[editar | editar còdic]Estos són els grups cristalográficos d'un sistema cristalí cúbic: 23, 432, Plantilla:SfracPlantilla:Overline, Plantilla:Overline3m i Plantilla:SfracPlantilla:OverlinePlantilla:Sfrac. Tots ells contenen quatre eixos diagonals de multiplicitat 3. Estos eixos estan disposts com a eixos de multiplicitat 3 en una gaveta, dirigits segons les seues quatre diagonals espacials (la gaveta té simetria Plantilla:SfracPlantilla:OverlinePlantilla:Sfrac). Estos símbols es construïxen de la següent manera:
- Primera posició: direccions simétricamente equivalents dels eixos de coordenades x, i i z. Són equivalents per la presència d'eixos diagonals de multiplicitat 3.
- Segona posició — diagonal 3 o eixos Plantilla:Overline.
- Tercera posició: direccions diagonals entre dos dels tres eixos de coordenades x, i i z. Estos poden ser 2, m o Plantilla:Sfrac.
Tots els símbols de Hermann-Mauguin presentats anteriorment es denominen símbols complets. Per a molts grups, es poden simplificar ometent els eixos de rotació de multiplicitat n en les posicions Plantilla:Sfrac. Açò es pot fer si l'eix de rotació es pot obtindre sense ambigüitats a partir de la combinació d'elements de simetria presentats en el símbol. Per eixemple, el símbol curt per a Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac és mmm, per a Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac és Plantilla:Sfracmm i per a Plantilla:SfracPlantilla:OverlinePlantilla:Sfrac és mPlantilla:Overlinem. En grups que contenen un eix d'orde superior, este eix d'orde superior no es pot ometre. Per eixemple, els símbols Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac i Plantilla:SfracPlantilla:SfracPlantilla:Sfrac es poden simplificar a 4/mmm (o Plantilla:Sfracmm) i 6/mmm (o Plantilla:Sfracmm), pero no a mmm; el símbol curt per a Plantilla:OverlinePlantilla:Sfrac és Plantilla:Overlinem. Els símbols complets i curts per als 32 grups de punts cristalográficos es donen en la pàgina grups de punts cristalográficos.
Ademés de cinc grups cúbics, hi ha atres dos grups icosaédricos no cristalográficos (I i Ih en notació de Schoenflies) i dos grups llímit (K i Kh en notació de Schoenflies). Els símbols de Hermann-Mauguin no varen ser dissenyats per a grups no cristalográficos, per lo que els seus símbols són prou nominals i es basen en la similitut en els símbols dels grups cristalográficos d'un sistema de cristals cúbic.[2][3][4][5][6] El grup I es pot indicar com 235, 25, 532, 53. Els possibles símbols curts per a Ih són mPlantilla:Overline, mPlantilla:Overline, m Plantilla:Overlinem, Plantilla:Overlinem. Els símbols possibles per al grup llímit K són ∞∞ o 2∞, i per a Kh són Plantilla:Sfrac∞ o mPlantilla:Overline o ∞∞m.
Grups plans
[editar | editar còdic]Els grups plans també es poden representar utilisant el sistema de Hermann-Mauguin. La primera lletra és p minúscula o c per a representar celes unitat primitives o centrades. El següent número és la simetria rotacional, com s'indica dalt. La presència de plans d'espill es denota en m, mentres que les reflexions esgolades solament es denoten en g. Els eixos helicoidals no existixen en dos dimensions, perque requerixen l'espai 3D.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Sands, Donald E. (1993). «Crystal Systems and Geometry», Introduction to Crystallography, Mineola, New York: Dover Publications, Inc., p. 54. ISBN 0-486-67839-3.
- ↑ «(International Tables) Abstract».
- ↑ Zorky, Petr. «Семейства точечных групп».
- ↑ Vainshtein, Boris K., Modern Crystallography 1: Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography, Springer. 1994, page 93.
- ↑ Point groups in three dimensions
- ↑ Shubnikov, A.V., Belov, N.V. & others, Colored Symmetry, Oxford: Pergamon Press. 1964, page 70.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Notación de Hermann-Mauguin» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.