Ona de Bloch

Archiu:BlochWave in Silicon.png

Equipotencial de l'ona de Bloch en una làmina de silici

Archiu:Bloch function.svg

En llínea sòlida: Un esbós d'una ona de Bloch típica en una dimensió. (L'ona és, en realitat, complexa, i ací només es mostra la part real). En llínea punteada: el factor i^ik·r. Els círculs suaus representen àtoms

Una Ona de Bloch (també cridada Estat de Bloch, Funció de Bloch o Funció d'ona de Bloch), cridada aixina pel físic suís Felix Bloch, és un tipo de funció d'ona d'una partícula en un mig periòdic, com un electró en un sòlit cristalí. Una funció d'ona ψ és una ona de Bloch si té la forma:

$\psi (𝐫)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}𝐤\cdot 𝐫}u(𝐫)$

a on r és la posició, o és una funció periòdica en la mateixa periodicitat que el cristal, i k és un número real, cridat el vector d'ona del cristal. En atres paraules, si es multiplica una ona plana per una funció periòdica, s'obté una ona de Bloch.

Les ones de Bloch són importants pel Teorema de Bloch, que afirma que el autoestado d'energia d'un electró en un cristal pot ser descrit en ones de Bloch. Més precisament, indica que la funció d'ona d'un electró en un cristal té una base que està formada solament per autoestados d'energia de Bloch. Este fet dona lloc a la teoria de bandes.

Els autoestados de les funcions d'ona s'escriuen en subíndexs, com ψ_{n k}, a on n és un valor discret, cridat índex d'energia de banda, i que diferencia a les múltiples ones de Bloch en el mateix k (cada una en un component periòdic o distint). Dins d'una banda (és dir, per a un determinat n), ψ_{n k} varia de manera contínua en k, aixina com la seua energia.

Història i equacions relacionades

El concepte d'ones de Bloch va ser desenrollat per Felix Bloch en 1928, per a descriure la conducció d'electrons en sòlits cristalins. No obstant, els mateixos conceptes matemàtics varen ser descoberts de manera independent en vàries ocasions: per George William Hill (1877), Gaston Floquet (1883), i Alexander Lyapunov (1892). Com a resultat, existixen vàries nomenclatures que són comunes. En equacions diferencials ordinàries, es diu teoria de Floquet (o ocasionalment la Teorema de Lyapunov-Floquet). Vàries equacions unidimensionals en coeficients constants tenen noms especials, per eixemple, l'equació d'Hill:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+({\theta }_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_n\cos (2nx))y=0,$

en a on θ_n són constants. L'equació d'Hill és molt general, ya que els térmens θ poden vore's com l'expansió en séries de Fourier d'un potencial periòdic. Atres equacions unidimensionals periòdiques que s'han estudiat són el model de Kronig-Penney i l'equació de Mathieu.

Matemàticament la teorema de Bloch s'interpreta en térmens del grup d'una ret cristalita, i és aplicat en geometria espectral.