Teorema de Bloch

Archiu:BlochWave in Silicon.png

Isosuperficie del mòdul quadrat d'un Estat de Bloch en un enreixat de silicona.

La teorema de Bloch descriu el moviment dels electrons en un sòlit. Va ser enunciat pel físic suís Felix Bloch basant-se en l'idea de que un sòlit posseïx una estructura microscòpica periòdica. A partir d'esta hipòtesis, la teorema establix de quina manera deuen ser les funcions d'ona dels electrons, i permet tractar el moviment de tots els electrons analisant únicament el moviment de un sol electró.

Hipòtesis

La teorema de Bloch descriu el moviment dels electrons en un sòlit, basant-se en les següents hipòtesis:

• Els àtoms del cristal formen una estructura periòdica, i tenen la periodicitat dels punts d'una ret de Bravais denotats pel vector $𝐫$.
• Per l'ordenament dels àtoms, el potencial del cristal és una funció periòdica que complix $U(𝐫\mathbf{+}𝐑)=U(𝐫)$ per a tot vector de translació $𝐑$ de la ret.
• Els electrons són independents, no interactuen entre sí i cada u satisfà l'equació de Schrödinger per a un potencial periòdic.

Expressió matemàtica

Partint d'estes bases, la teorema de Bloch establix que els autoestados ${\psi }_{}$ d'un electró vénen daus pel producte d'una ona plana i una funció periòdica en $𝐑$ cridada funció de Bloch, és dir:

${\psi }_{𝐤}(𝐫)=e^{i𝐤𝐫}{u}_{𝐤}(𝐫)$. (Autoestado de l'electró) = (ona plana) x (funció periòdica, cridada funció de Bloch)

En l'anterior equació la lletra $𝐤$ representa el vector d'ona, i la funció de Bloch, $u_{𝐤}(𝐫)$, pot ser una funció periòdica qualsevol, la periodicitat de la qual $𝐑$ és la mateixa que la de la ret cristalina. La funció de Bloch ve determinada per la resolució de l'equació de Schrödinger, no obstant, no és necessari saber la forma analítica d'esta funció per a abordar el tractament d'un sòlit. És més, fent us de la seua periodicitat es té que $u_{𝐤}(𝐫\mathbf{+}𝐑)=u_{𝐤}(𝐫)$, de modo que l'equació anterior es pot reescriure com

${\psi }_{𝐤}(𝐫\mathbf{+}𝐑)=e^{i𝐤𝐑}{\psi }_{𝐤}(𝐫)$.

Note's que com la forma analítica de la funció periòdica que multiplica a l'ona plana és desconeguda i ademés irrellevant, be podria ser esta ${\psi }_{𝐤}(𝐫)$ en lloc de $u_{𝐤}(𝐫)$. Aixina que, en l'anterior equació seguix complint-se que:

(Autoestado de l'electró) = (ona plana) x (funció periòdica, cridada funció de Bloch)

Estes dos equacions són per tant equivalents, i són usades indistintament per a referir-se a la teorema de Bloch.

Bibliografia

• Charres Kittel (1996). Introduction to Solid State Physics, Nova York: Wiley. ISBN 0471142867.
• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin (1976). Solid State Physics, Orlando: Harcourt. ISBN 0030493463.