Operador compacte

En anàlisis funcional, un operador compacte és un operador llineal L definit sobre un espai de Banach X a un atre espai de Banach I, tal que l'image per L de qualsevol conjunt acotat de X és un conjunt relativament compacte de I. Un operador en eixa propietat necessàriament és un operador acotat i per tant continu.

Qualsevol operador acotat L de ranc finito és un operador compacte, de fet, la classe d'operadors compactes és un generalisació natural de la classe d'operadors de ranc finito en un context de dimensió infinita. Quan I és un espai de Hilbert, resulta que qualsevol operador compacte és el llímit d'una successió d'operadors de ranc finito, de tal manera que la classe d'operadors compactes pot ser definida alternativament com la clausura topològica en la norma d'operadors del conjunt d'operadors de ranc finito. Durant anys va ser una qüestió oberta de si açò és cert en general per a espais de Banach, fins que Per Enflo va mostrar que no, donant un contraeixemple.

L'orige de la teoria d'operadors compactes és la teoria d'equacions integrals a on alguns operadors integrals eren casos concrets d'operadors compactes. Una equació integral de Fredholm típica dona lloc a un operador compacte K sobre un espai funcional, la propietat del qual de compacidad es demostra per equicontinuïtat. El método d'aproximació d'operadors de ranc finito és bàsic en la solució numèrica d'eixe tipo d'equacions. L'idea abstracta d'operador de Fredholm es deriva d'esta conexió.

Formulació equivalents

Siga $T:X\to Y$ un operador llineal, les següents afirmacions són equivalents:

• $T$ és un operador compacte
• L'image de la bola unitària de $X$ baix $T$ és relativament compactar en $Y$.
• Per a tota subsucesión acotada $(x_n{)}_n\subseteq X$, la successió $(T{x}_n{)}_n\subseteq Y$ té una subsucesión convergent.