Piràmide pentagonal

Archiu:Pentagonal pyramid.png

Piràmide pentagonal

Eixemple

En geometria, una piràmide pentagonal és una piràmide de base pentagonal sobre la qual es descollen cinc cares triangulars que es troben en un punt, el cim. De la mateixa manera que qualsevol piràmide, és autodual. Este poliedre té 6 cares, 10 arestes i 6 vèrtiços.

Àrea i volum

l'àrea d'una piràmide pentagonal d'altura $h$ i la base de la qual és un pentàgon regular de costat $L$ és

$A=\frac{5}{4}\cdot L\cdot \frac{L+\sqrt{L^2+4h^2(5-2\sqrt{5})}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

I el seu volum és

$V=L^2\cdot h\cdot \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{12}$

Sòlit de Johnson

La piràmide pentagonal regular té una base que és un pentàgon regular i cares laterals que són triànguls equiláteros. És un dels sòlits de Johnson (J₂). La seua altura H, mida des del punt central de la cara pentagonal fins al cim, medix

$H=L\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}$

a on L és la llongitut de qualsevol de les seues arestes.

L'àrea de la piràmide és

$A=\frac{L^2}{2}\sqrt{\frac{5}{2}(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}})}\approx 3.88554\cdot L^2$

I el volum és

$V=\frac{L^3}{24}\cdot (5+\sqrt{5})$

Pot considerar-se la "tapa" d'un icosaedre; el restant de l'icosaedre forma una piràmide pentagonal giroelongada, J₁₁. Els 92 sòlits de Johnson varen ser nomenats i descrits per Norman Johnson en 1966.

De forma més general, una piràmide pentagonal isogonal pot construir-se a partir d'una base pentagonal regular i 5 costats triangulars isósceles de qualsevol altura.

Vore també

• Piràmide quadrada
• Sòlit de Johnson