Poliedre de Szilassi

Archiu:Szilassi polyhedron.stl

Modele 3D del poliedre de Szilassi

Archiu:Szilassi polyhedron.gif

Animació del poliedre de Szilassi

El poliedre de Szilassi és un poliedre no convexo, topológicamente un bou, en sèt cares hexagonals.

Cada cara d'este poliedre compartix un vèrtiç en cada una de les atres cares. Com a resultat, es requerixen sèt colors per a pintar cada cara adjacent, proveint el llímit inferior per a la teorema dels sèt colors (generalisació del teorema dels quatre colors). Té un eix de simetria rotacional de 180 graus; 3 parells de cares són congruents, deixant un hexàgon impar que té la mateixa simetria rotacional que el poliedre. Els 14 vèrtiços i 21 arestes del poliedre de Szilassi formen un grafo de Heawood sobre la superfície d'un bou.

El tetraedre i el poliedre de Szilassi són els únics dos poliedres coneguts en els que cada cara compartix una aresta en cada una de les atres cares. Si un poliedre en f cares és proyectat sobre una superfície en h forats, de manera que cada cara compartixca una aresta en cada una de les atres cares, s'obté per mig de la manipulació de la Característica de Euler que

$h=\frac{(f-4)(f-3)}{12}.$

Esta equació se satisfà per al tetraedre en h = 0 i f = 4, i per al poliedre de Szilassi en h = 1 i f = 7. La pròxima solució possible, h = 6 i f = 12, correspondria a un poliedre de 44 vèrtiços i 66 arestes, pero no es coneix si tal poliedre existix. Generalisant, esta equació pot satisfer-se solament quan f  és congruent a 0, 3, 4, o 7 mòdul 12.

El poliedre de Szilassi du el seu nom pel matemàtic Hongarés Lajos Szilassi, que ho va descobrir en 1977. El poliedre dual del poliedre de Szilassi, el Poliedre de Császár, va ser descobert abans per Ákos Császár; té sèt vèrtiços conectant cada parell de vèrtiços, i 14 cares triangulars. De la mateixa manera que el poliedre de Szilassi, el poliedre de Császár topologicamente és un bou.

Referències

• .
• .
• .
• .
• .