Polinomis secundaris

En matemàtiques, els polinomis secundaris $\{q_n(x)\}$ associats en una successió matemàtica $\{p_n(x)\}$ de polinomis ortogonals sobre una densitat $\rho (x)$ es definixen per

$q_n(x)=\underset{ℝ}{\int }\frac{p_n(t)-p_n(x)}{t-x}\rho (t)dt.$

Per a vore que les funcions $q_n(x)$ són polinomis, considere's l'eixemple simple de $p_0(x)=x^3.$. Llavors,

$\begin{array}{cc}{q}_0(x)& =\underset{ℝ}{\int }\frac{t^3-x^3}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }\frac{(t-x)(t^2+tx+x^2)}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }(t^2+tx+x^2)\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }{t}^2\rho (t)dt+x\underset{ℝ}{\int }t\rho (t)dt+x^2\underset{ℝ}{\int }\rho (t)dt\end{array}$

que és un polinomi en $x$ tal que les tres integrals en $t$ (els moments de la densitat $\rho$) siguen convergents.

Vore també

• Mida secundària