Primorial

Esquema del primorial.

El primorial d'un número n es definix com el producte de tots els número primo menors o iguals a ell, i s'indica com a n#.

Els primoriales són números definits en la demostració de l'infinitud dels número primo de Euclides.

La demostració consistix en supondre un conjunt finito de número primo. Si es pren el producte de tots ells i s'afig un, eixe número deu ser un número primo ya que no és divisible per cap dels cosins del producte de cosins considerat, i òbviament no està en el conjunt considerat, o siga que és un nou número primo. Açò és una contradicció, de modo que, aplicant el principi de reducció a l'absurt, concloem que el conjunt inicial no pot ser finito

Definició

Per a un número natural $n$, el seu factorial primer $n\mathrm{\#}$ es definix com el producte de tots els número primo menors o iguals a $n$:

$n\mathrm{\#}=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}^{p\le n}p$

o també com el primorial de l'número primo immediatament inferior, $p_k\mathrm{\#}$:

$p_k\mathrm{\#}=\prod _{i=1}^k{p}_i$.

Abdós definicions, diferents pero consistents entre sí, són fàcils de diferenciar per la seua notació matemàtica, pero no sempre es distinguixen pel nom donat a la funció (tendint a parlar-se indistintament de factorial primer i de primorial).

$7\mathrm{\#}=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}^{p\le 7}p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$,

$p_4\mathrm{\#}=7\mathrm{\#}=\prod _{i=1}^4{p}_i=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$.

A voltes es fa una distinció entre el cas especial en el que $n$ és un número primo, i solament es definix el primorial per a este cas; mentres que el valor permaneix indefinit per a $n$ no primer.

En el cas de que $n\le 1$ es té un producte buit, i el valor del factorial primer i del primorial és llavors 1. Per als arguments $n$ que no són primers, el primorial no té valor, pero la funció factorial cosí torna per a $n$ el primorial de l'número primo immediatament més menut. En la pràctica, abdós térmens s'utilisen majoritàriament com a sinònims.

Eixemple

Per a calcular el valor de $7\mathrm{\#}$ (primorial de 7), primer es determinen tots els número primo menors o iguals a 7. Estos són 2, 3, 5 i 7. El producte d'estos quatre número primo produïx $7\mathrm{\#}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$. Per a 9, per un atre costat, no es pot calcular un primorial, pero sí es pot calcular el seu factorial primer: ya que 9 no és un número primo i l'anterior número primo més chicotet és 7 i el següent número primo més gran és 11, s'aplica que $7\mathrm{\#}=8\mathrm{\#}=9\mathrm{\#}=10\mathrm{\#}=210$.

Bibliografia

• Factorial and primorial primes. J. Recr. Math., 19, 1987, 197-203