Principi de la suma

En el principi de la suma o regla de la suma és una dels principis fonamentals de conteo. En la seua versió més simple establix:^[1]

Principi de la suma (informal). Si una tasca es pot realisar de m formes possibles, una atra tasca es pot realisar de n formes possibles, i abdós tasques són excloents, en el sentit que no poden realisar-se de manera simultànea, llavors hi ha m+n formes d'elegir alguna d'estes tasques.

Per eixemple, si es desija triar un alumne entre 2 grups escolars disponibles, el primer en 25 alumnes i el segon en 30, llavors es pot seleccionar a l'alumne de 25+30=55 maneres diferents.

Versió formal

La versió informal del principi pot semblar evident, encara que en realitat amaga una afirmació matemàtica precisa.^[2]

Principi de la suma: Si A, B són conjunts finitos disjuntos llavors

$| A \cup B | = | A | + | B | = | X |$ .

En la teorema anterior $| X |$ representa la cardinalidad (número d'elements) del conjunt $X$ .

La relació en la versió informal del principi s'obté prenent A com el conjunt de possibles resultats o seleccions del primer tipo, B el conjunt de resultats o seleccions del segon, mentres que $A \cup B$ és el conjunt total de resultats possibles.

Existix una generalisació del principi de la suma per a varis conjunts:^[3]

Aplicacions

El principi de la suma es troba subjacent en tota prova o enumeració a on es dividixca un conteo en casos separats.

Eixemple: Conteo d'opcions

Es desija determinar el número de sancers entre 1 i 50 que siguen múltiples de 7 o d'11.

Els números a considerar són de dos tipos: múltiples de 7 i múltiples d'11. Adicionalment, no hi ha un número entre 1 i 50 que siga d'abdós tipos de forma simultànea. Per tant, dits conjunts són disjuntos.

En atres paraules, si

A = {múltiples de 7 entre 1 i 50}={7, 14, 21, ..., 49}.

B = {múltiples d'11 entre 1 i 50}={11, 22, 33, 44}.

llavors $A \cap B = \emptyset$ i el resultat desijat, pel principi de la suma, és |A| + |B|, és dir: 7+4=11.

Eixemple: Identitat de Pascal

$(\binom{5}{3}) = 10$ , puix hi ha 10 formes de triar (en roig) 3 objectes d'un conjunt en 5 elements.

l'identitat de Pascal és un eixemple clàssic d'aplicació del principi de la suma. Denotarem per $(\binom{n}{k})$ el número de formes de triar k objectes d'un conjunt en n elements.

L'identitat de Pascal establix:

Per a ilustrar la teorema considerem un conjunt en n=5 elements del com es van a elegir k=3 elements. Per definició, dita elecció es pot realisar de $(\binom{5}{3})$ formes.

El número de formes de triar 3 elements és la suma del número d'eleccions que inclouen al quadrat i el número d'eleccions que no ho inclouen.

Seleccionem ara un element particular del conjunt (en el cas de la figura, el quadrat). Tenim llavors dos conjunts d'eleccions:

Aquelles eleccions de 3 elements que inclouen a l'element indicat.
Aquelles eleccions que no inclouen a l'element indicat.

Abdós conjunts d'eleccions són disjuntos, per lo que el principi de la suma establix que el resultat total serà la suma del número de formes de fer les eleccions de cada tipo.

En el primer cas, ya que ya tenim un element fix, només fa falta triar 2 elements entre les 4 opcions restants. Açò es pot realisar de $(\binom{4}{2})$ formes.
En el segon cas tenim que seleccionar els 3 elements a partir de les 4 opcions possibles, la qual cosa es pot fer de $(\binom{4}{3})$ formes.

Concloem llavors que el número total d'eleccions $(\binom{5}{3})$ és igual a la suma d'eixes cantitats:

$(\binom{5}{3}) = (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3})$ .

Notes

↑ Grimaldi (1997). «Principis fonamentals de conteo», Matemàtiques Discreta i Combinatoria: Una introducció en aplicacions, 3a edició (en espanyol), Mèxic: Addison Wesley, pp. 3-4. ISBN 9684443242.
↑ Aigner, Martin (2007). «Elementary Counting Principles», A Course in Enumeration (en anglés), Springer. ISBN 9783540390324.
↑ (2007) Introduction to Enumerative Combinatorics, 1a edició (en anglés), McGraw-Hill. ISBN 9780073125619.

Referències

fi:Todennäköisyysteoria#Tuloperiaate ja summaperiaate

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio de la suma» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Grimaldi (1997). «Principis fonamentals de conteo», Matemàtiques Discreta i Combinatoria: Una introducció en aplicacions, 3a edició (en espanyol), Mèxic: Addison Wesley, pp. 3-4. ISBN 9684443242.

[2] Aigner, Martin (2007). «Elementary Counting Principles», A Course in Enumeration (en anglés), Springer. ISBN 9783540390324.

[3] (2007) Introduction to Enumerative Combinatorics, 1a edició (en anglés), McGraw-Hill. ISBN 9780073125619.

[1]

[2]

[3]