Problema de Znám

Archiu:Znam-2-3-11-23-31.svg

Demostració gràfica de que 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Cada fila de k quadrats de costat 1/k té un àrea total d'1/k, i tots els quadrats junts cobrixen exactament un quadrat d'àrea 1. La fila inferior, en 47058 quadrats de costat 1/47058 és massa chicotet per a apreciar-se en la figura, per lo que no es mostra.

En teoria de números, el problema de Znám pregunta qué conjunts de k sancers tenen la propietat de que cada sancer en el conjunt és un divisor propi del producte dels demés sancers del conjunt més 1. El problema de Znám pren el seu nom del matemàtic eslovaco Štefan Znám, qui ho va sugerir en 1972, encara que atres matemàtics ya estaven treballant en problemes similars en eixa mateixa época. Un problema directament relacionat ignora la suposició de que el divisor siga propi; rep per lo tant el nom de problema de Znám impropi.

Es pot donar fàcilment una solució per al problema de Znám impropi, donat qualsevol k: els primers k térmens de la successió de Sylvester complixen la propietat demanada. Sun (1983) va demostrar que hi ha a lo manco una solució per al problema de Znám (propi) per a qualsevol k ≥ 5. La solució de Sun està basada en una recurrencia similar a la de la successió de Sylvester, pero en un conjunt distint de valors inicials.

El problema de Znám està íntimament relacionat en les fraccions egipcíaques. Se sap que hi ha solament un número finito de solucions possibles per a cada k. Entre les vàries preguntes obertes entorn al problema, es desconeix si hi ha alguna solució per al problema usant sol número impar.

El problema

El problema de Znám pregunta qué conjunts de k sancers tenen la propietat de que cada sancer en el conjunt és un divisor propi del producte dels demés sancers del conjunt més 1. Açò és, donat k, que conjunts de sancers

$\{n_1,\dots ,n_k\}$

existixen, tals que, per a cada i, n_i dividix, sense ser igual, a

$\left(\prod _{j\ne i}^n{n}_j\right)+1$

Un problema directament relacionat tracta sobre conjunts de sancers en els que cada sancer en el conjunt és un divisor, no necessàriament propi, d'un més el producte dels demés sancers en el conjunt. Este problema no sembla haver rebut cap nom en la lliteratura matemàtica, per lo que serà referit com a problema de Znám impropi. Tota solució al problema de Znám és també una solució al problema de Znám impropi, pero l'invers no és necessàriament cert.

Història

El problema de Znám rep el seu nom del matemàtic eslovaco Štefan Znám, que ho va enunciar en 1972.Barbeau (1971) havia plantejat la seua versió impròpia per a k = 3, i Mordell (1973), en independència de Znám, va trobar totes les solucions del problema impropi per a k ≤ 5.Skula (1975) va demostrar que el problema és irresoluble per a k < 5, i va reconéixer el mèrit de J. Janák per trobar la solució {2, 3, 11, 23, 31} per a k = 5.

Referències

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .