Problema de la partida interrompuda

Pàgina d'una "còpia de la primera carta de Pascal a Fermat"^[1]

El problema de la partida interrompuda, també denominat de la divisió de les participacions o dels punts, és una qüestió clàssica en la teoria de la provabilitat. Es tracta d'un problema famós, que va motivar l'inici de la teoria de la provabilitat moderna en el XVII, i que va dur al matemàtic francés Blaise Pascal a realisar el primer raonament explícit sobre lo que es coneix com un valor esperat.

El problema aborda un joc d'encert entre dos jugadors, que tenen possibilitats iguals de guanyar cada ronda. Les apostes d'abdós són idèntiques, i estan d'acort per avant que el primer jugador que guanye un cert número de rondes obtindrà tot el premi. A continuació, es deu supondre que el joc queda interromput per una circumstància externa ans que qualsevol jugador haja conseguit la victòria. ¿Cóm es deu dividir el premi llavors? Tácitamente sembla que la divisió tindria que dependre d'alguna manera del número de rondes guanyat per cada jugador, de manera que si un jugador estiguera més pròxim a guanyar, deuria dur-se una part més gran del premi. Pero el problema no és merament una qüestió de càlcul, i també implica decidir lo que és de fet una "divisió justa".

Primeres solucions

Luca Pacioli va considerar este problema en el seu llibre de 1494 Summa de arithmetica, geometrica, propori et proportionalità. El seu método va ser dividir les apostes en proporció al número de rondes guanyades per cada jugador, pero el número de rondes necessàries per a guanyar no afectava als seus càlculs en absolut.^[2]

A mitan de el XVI Niccolò Tartaglia va senyalar que el método de Pacioli duya a resultats contraintuitivos si el joc és interromput quan solament s'ha jugat una ronda. En este cas, la regla de Pacioli otorgaria el premi sancer al guanyador de l'única ronda, encara que en un moment inicial d'un joc molt llarc esta ventaja dista molt de ser decisiva. Tartaglia va idear un método que evita este problema particular basant la divisió del premi en la proporció entre la mida de la ventaja i la llongitut del joc.^[2] Esta solució encara no carix de problemes, perque per eixemple, en un joc a 100 victòries dividix els premis de la mateixa manera per a una ventaja de 65–55 que per a una ventaja de 99–89, encara que en el primer cas el joc estiga encara relativament obert, mentres que en el segon case la victòria del primer jugador és casi segura. El propi Tartaglia no estava segur de si el problema era resoluble d'una manera justa que convenceria a abdós jugadors: "faça's com es faça la divisió, hi haurà motius per a una disputa".^[3]

Pascal i Fermat

El problema va sorgir novament al voltant de 1654, quan Chevalier de Méré li'l va plantejar a Blaise Pascal, qui ho va discutir en la seua contínua correspondència en Pierre de Fermat. A través d'esta discussió, Pascal i Fermat no solament varen proporcionar una solució convincent i coherent per a este problema, sino que també varen desenrollar conceptes que encara són fonamentals per a la teoria de la provabilitat.

L'idea inicial de Pascal i Fermat va ser que la divisió no deuria dependre tant de l'història de la part del joc interromput que realment havia tingut lloc, sino de les possibles formes en les que el joc podria haver continuat, si no haguera segut interromput. Intuitivamente, està clar que un jugador en una ventaja de 7–5 en un joc a 10 té la mateixa possibilitat de guanyar finalment que un jugador en una ventaja de 17–15 en un joc a 20, i Pascal i Fermat, per lo tant, varen pensar que l'interrupció en qualsevol de les dos situacions deuria conduir a la mateixa divisió de les apostes. En atres paraules, lo important no és la cantitat de rondes que cada jugador haja guanyat fins al moment, sino la cantitat de rondes que cada jugador encara necessita guanyar per a conseguir la victòria general.

Fermat va raonar aixina:^[4] si un jugador necessita adjudicar-se r rondes més per a guanyar, i l'atre necessita s, el joc segurament haurà segut guanyat per algú despuix de $r + s - 1$ rondes adicionals. Per lo tant, va imaginar que els jugadors deurien jugar $r + s - 1$ rondes més; en total estes rondes tenen $2^{r + s - 1}$ resultats diferents possibles. En alguns d'estos possibles futurs, el joc s'haurà decidit en menys de $r + s - 1$ rondes, pero també es pot imaginar que els jugadors continuen jugant sense cap propòsit. Tenint en conte ara que els possibles futurs són tots igualment llarcs, es té la ventaja de que és fàcil convéncer-se de que cada una de les $2^{r + s - 1}$ possibilitats són igualment provables. D'esta manera, Fermat va poder calcular les provabilitats de guanyar per a cada jugador, simplement escrivint una taula de totes les $2^{r + s - 1}$ possibles continuació i contant quàntes durien a cada jugador a guanyar. Fermat considerava que llavors era just dividir les apostes en proporció a eixes provabilitats.

La solució de Fermat, certament "correcta" per als estàndarts de hui, va ser millorada per Pascal de dos maneres. Primer, va presentar un argument més elaborat pel que la divisió resultant deuria considerar-se justa. En segon lloc, va mostrar cóm calcular la divisió correcta de manera més eficient que el método tabular de Fermat, que es torna completament inabordable (sense computadores modernes) si $r + s - 1$ supera el valor de 10.

En lloc de solament considerar la provabilitat de guanyar tot el joc restant, Pascal va idear un principi basat en passos successius més curts: suponga's que els jugadors pogueren jugar solament una ronda més abans de ser interromputs, i que ya s'havia decidit prèviament cóm dividir les apostes despuix d'eixa ronda adicional (possiblement perque eixa ronda li permet a un dels jugadors guanyar). La ronda adicional imaginada pot dur a un dels dos futurs possibles en diferents divisions justes de les apostes, pero ya que els dos jugadors tenen encara possibilitats de guanyar la pròxima ronda, deuen dividir la diferència entre les dos divisions futures de manera equitativa. D'esta manera, el coneiximent de les solucions justes en jocs en menys rondes restants, es pot utilisar per a calcular solucions justes per a jocs en més rondes restants.^[5]

És més fàcil convéncer-se de que este principi és just que ho és per a la taula de futurs possibles de Fermat, els resultats dels quals són doblement hipotètics perque es deu imaginar que en ocasions el joc deu continuar despuix d'haver segut guanyat. L'anàlisis de Pascal ací és un dels primers eixemples de l'us de valors d'expectativa en lloc de provabilitats en raonar sobre la provabilitat. Poc despuix, esta idea es convertiria en la base del primer tractat sistemàtic sobre provabilitat publicat per Christiaan Huygens. Posteriorment, el concepte modern de provabilitat va sorgir de l'us dels valors d'expectativa de Pascal i Huygens.

L'aplicació directa de la regla passe a pas de Pascal és significativament més ràpida que el método de Fermat quan queden moltes rondes. No obstant, Pascal va poder usar-ho com a punt de partida per a desenrollar métodos de càlcul més alvançats. A través de la manipulació inteligent d'identitats que involucren lo que hui es coneix com el triàngul de Pascal (incloses vàries de les primeres deduccions explícites per inducció), Pascal finalment va demostrar que en un joc a on un jugador necessita $r$ punts per a guanyar i l'atre necessita $s$ punts, la divisió correcta de les apostes deu estar en la proporció de (usant la notació moderna)

\sum_{k = 0}^{s - 1} (\binom{r + s - 1}{k}) frente a \sum_{k = s}^{r + s - 1} (\binom{r + s - 1}{k})

a on el terme

(\binom{r + s - 1}{k})

representa l'operador combinació.

El problema de dividir les apostes encara en joc es va convertir en un important eixemple de motivació per a Pascal del seu Tractat sobre el triàngul aritmètic.^[5]^[6]

Si be la deducció de Pascal d'este resultat va ser independent del método tabular de Fermat, està clar que també utilisa implícitament el conteo de diferents resultats de $r + s - 1$ rondes adicionals que va sugerir Fermat.

Eixemple

Siguen dos jugadors que s'aposten 12 ducados cada u, duent-se el premi de 24 ducados el que obtinga primer 6 cares (jugador A) o 6 creus (jugador B) llançant una moneda a l'aire. A efectes pràctics, es contabilisen les voltes que guanya A i les voltes que guanya B. No obstant, deuen interrompre la partida quan el jugador A ha guanyat 5 voltes, i el jugador B 3 voltes. ¿Cóm deurien repartir l'import de l'aposta?

Blaise Pascal i Pierre Fermat proponen repartir el premi 7 a 1 (sèt parts para A i una part per a B).

Explicació:

Pascal: Ya que a un dels jugadors li falta un punt per a aplegar a 6, i a l'atre tres, el joc s'acabarà en un màxim de tres partides. El jugador A es duria el premi si guanyara la partida següent (1/2), o si perguera la següent i guanyara l'atra (1/4) o si perguera les dos següents i guanyara l'atra (1/8):

Provabilitat de que guanye A: $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{4}{8}$ + $\frac{2}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Provabilitat de que guanye B: $1 - \frac{7}{8}$ = $\frac{8}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Fermat: Com el joc es pot allargar com a màxim tres partides més, es consideren tots els resultats si es jugaren les tres partides i es conten els casos favorables a cada jugador. A tan solament necessita guanyar una partida per a guanyar el joc. En la taula es representa A para les partides guanyades pel jugador A i B, per a les partides guanyades pel jugador B.

A B A A A B B B
A A B A B A B B
A A A B B B A B

D'acort en la taula, el jugador A conta en 7 de les 8 possibilitats, mentres que B, en 1 de les 8.

Per lo tant, la distribució dels ducados (recorde's que és la considerada correcta) seria la següent: seguint una proporció de 7:1, el jugador A es duria 21 ducados i el jugador B, 3 ducados.

Aplicació de la fòrmula: en el cas anterior, es té que les partides que necessitarien guanyar A i B per a adjudicar-se el joc són respectivament: $r = 1$ i $s = 3$ D'acort en la fòrmula anteriorment descrita:

\sum_{k = 0}^{s - 1} (\binom{r + s - 1}{k}) = \sum_{k = 0}^{2} (\binom{3}{k}) = (\binom{3}{0}) + (\binom{3}{1}) + (\binom{3}{2}) = 1 + 3 + 3 = 7

(proporció del repartiment para A)

\sum_{k = s}^{r + s - 1} (\binom{r + s - 1}{k}) = \sum_{k = 3}^{3} (\binom{3}{k}) = (\binom{3}{3}) = 1

(proporció del repartiment per a B)

Com ya s'ha senyalat, el resultat depén exclusivament del número de partides que li queden per guanyar a cada jugador, independentment del número total de partides. Aixina, el resultat és el mateix si es juguen tres partides i A ha guanyat dos i B cap, o si s'haguera acordat jugar 100 partides i A haguera guanyat 99 i B 97.

Referències

↑ Œuvres de Blaise Pascal, Volume 2, Lefèvre, 1819, lettre du 29 juillet 1654, p. 371
↑ ^2,0 ^2,1 Katz, Victor J. (1993). A history of mathematics, HarperCollins College Publishers.
↑ Tartaglia, citat per Katz (op.cit.), de Oystein Mena, "Pascal i l'Invenció de Teoria de Provabilitat", americà Matemàtic Mensual 67 (1960), 409–419, p.414.
↑ Pascal, carta a Fermat, citada en FN David (1962) Games, Gods, and Gambling, Griffin Press, p. 239.
↑ ^5,0 ^5,1 Katz, op.cit., Secció 11.3.2
↑ Pascal, Blaise (1665). Traité du triangle arithmétique. Digital facsimile ^{[enllaç trencat]} at the Cambridge University Library (francés) with short English summary

Bibliografia

Anders Hald: A history of Probability and Statistics and their Applications before 1750. Wiley 2003, ISBN 978-0-471-47129-5, p. 35, 54
Keith Devlin: The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern. Basic Books 2010, ISBN 978-0465018963

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problema de la partida interrumpida» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Œuvres de Blaise Pascal, Volume 2, Lefèvre, 1819, lettre du 29 juillet 1654, p. 371

[Katz1131-2] 2,0 ^2,1 Katz, Victor J. (1993). A history of mathematics, HarperCollins College Publishers.

[3] Tartaglia, citat per Katz (op.cit.), de Oystein Mena, "Pascal i l'Invenció de Teoria de Provabilitat", americà Matemàtic Mensual 67 (1960), 409–419, p.414.

[4] Pascal, carta a Fermat, citada en FN David (1962) Games, Gods, and Gambling, Griffin Press, p. 239.

[Katz1132-5] 5,0 ^5,1 Katz, op.cit., Secció 11.3.2

[6] Pascal, Blaise (1665). Traité du triangle arithmétique. Digital facsimile ^{[enllaç trencat]} at the Cambridge University Library (francés) with short English summary

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]