Ranc (matemàtiques)

Archiu:Codomain2. caps block 0

$f$ és una funció des del domini X al codominio I. L'óval groc dins de I és l'image de $f$. En algunes ocasions el terme ranc pot fer referència a l'image, i en unes atres al codominio.

En matemàtiques, i més específicament en teoria informal de conjunts, el ranc d'una funció es referix al codominio o a la image de la funció, depenent de l'us. L'us modern casi sempre utilisa ranc per a referir-se a la image.

El codominio d'una funció és algun superconjunto arbitrari d'imàgens. En anàlisis real, és el conjunt dels número real. En anàlisis complex, és el dels complexos.

L'image d'una funció és el conjunt de totes els resultats de la funció. L'image sempre és un subconjunt (propi o no) del codominio.

Distinció entre els dos usos

Com el terme ranc pot tindre diferents significats, es considera una bona pràctica definir-ho la primera volta que s'usa en un llibre de text o artícul.

Els llibres antics, quan usen la paraula ranc, tendixen a usar-ho per a referir-se a lo que ara es diu codominio. Els llibres més moderns, si usen la paraula ranc, generalment l'usen per a referir-se a lo que ara es diu image. Per a evitar confusions, varis llibres moderns no usen la paraula ranc en absolut.

Com a eixemple dels dos usos diferents, considere's la funció $f(x)=x^2$ tal com s'usa en anàlisis real, és dir, com una funció opera sobre un número real i genera el seu quadrat. En este cas, el seu codominio és el conjunt d'número real $ℝ$, pero la seua image és el conjunt d'número real no negatius ${ℝ}^{+}$, ya que $x^2$ mai és negatiu si $x$ és real. Per a esta funció, si s'usa el terme ranc per a referir-nos a "codominio", es referix a $ℝ$. Quan s'usa ranc per a significar "image", es referix a ${ℝ}^{+}$.

Com un eixemple a on el ranc és igual al condomini, considere's la funció $f(x)=2x$, que opera sobre un número real i calcula el seu valor doble. Per a esta funció, el condomini i l'image són els mateixos (la funció és sobreyectiva), per lo que la paraula ranc no és ambigua; és el conjunt de tots els número real.

Definició formal

Quan ranc s'usa per a significar codominio, l'image d'una funció f ya està implícitament definida. És (per definició d'image) el subconjunt (potser trivial) del ranc que és igual a {i | existix un x en el domini de f tal que i = f (x)}.

Quan ranc s'usa per a significar image, el ranc d'una funció f és per definició {i | existix un x en el domini de f tal que i = f (x)}. En este cas, el codominio de f no es deu especificar, perque qualsevol codominio que conté esta image com un subconjunt (potser trivial) satisfarà la condició.

En abdós casos, l'image f ⊆ ranc f ⊆ codominio f, en a lo manco una de les inclusions sent una equivalència.

Vore també

• Biyeción, injecció i sobreyección
• Codominio
• Conjunt image
• Teoria informal de conjunts