Regles de divisibilidad

Una regla de divisibilidad és una forma abreviada i útil de determinar si un número entero donat és divisible per un divisor fix sense realisar la divisió, generalment examinant els seus dígits. Encara que existixen proves de divisibilidad per a números en qualsevol sistema numèric o base, i totes són diferents, este artícul presenta regles i eixemples sol per als habituals números del sistema decimal (és dir, de base 10). Martin Gardner va explicar i va popularisar estes regles en la seua columna de "Jocs Matemàtics" de setembre de 1962 en la revista Scientific American.^[1]

Regles de divisibilidad per als números de l'1 al 30

Les regles que es presenten a continuació transformen un número donat en un número generalment menor, conservant la divisibilidad pel divisor d'interés. Per lo tant, a menos que s'indique lo contrari, el número resultant deu evaluar-se per a determinar el seu divisibilidad pel mateix divisor. En alguns casos, el procés pot repetir-se fins que la divisibilidad siga evident; en uns atres (com examinar els últims n dígits), el resultat deu examinar-se per atres mijos.

Per a divisores en múltiples regles, estes generalment s'ordenen primer segons corresponga a números en moltes sifres, i després segons corresponga a números en menys sifres.


Divisor	Regla de divisibilidad	Eixemples
1	Sense condició específica. Qualsevol número entero és divisible per 1.	2 és divisible per 1.
2	L'últim dígit és parell (0, 2, 4, 6 o 8).^[2]^[3]	1294: 4 és parell.
3	La suma dels dígits és divisible per 3.^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 i 636 → 6 + 3 + 6 = 15, abdós divisibles per 3. 16.499.205.854.376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 suma 69 → 6 + 9 = 15, que és divisible per 3.
	Restar la cantitat de dígits 2, 5 i 8 del número a la cantitat de dígits 1, 4 i 7 del número.	16.499.205.854.376 té quatre dígits 1, 4 i 7, i quatre dígits 2, 5 i 8. Com 4 - 4 = 0 és múltiple de 3, el número 16.499.205.854.376 és divisible per 3.
	Restar el doble de l'últim dígit del restant és divisible per 3.	405: 40 - 5 × 2 = 40 - 10 = 30 = 3 × 10.
4	Els últims dos dígits formen un número divisible per 4.^[2]^[3]	40.832: 32 és divisible per 4.
	Si la sifra de les decenes és parell, la sifra de les unitats deu ser 0, 4 o 8. Si la sifra de les decenes és impar, la sifra de les unitats deu ser 2 o 6.	40.832: 3 és impar i l'últim dígit és 2.
	La suma de la sifra de les unitats i el doble de la sifra de les decenes és divisible per 4.	40.832: 2 × 3 + 2 = 8, que és divisible per 4.
5	L'últim dígit és 0 o 5.^[2]^[3]	495: l'últim dígit és 5.
6	El número deu ser parell i la suma dels seus dígits deu ser divisible per 3.^[6]	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, per lo que és divisible per 3 i l'últim dígit és parell, per lo tant, el número és divisible per 6.
6	Sumar la sifra de les unitats, 4 voltes la sifra de les decenes, 4 voltes la sifra de les centenes, 4 voltes la sifra de les unitats de miller, etc.	1458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48.
7	Formar un série alternada de blocs de tres de dreta a esquerra dona un múltiple de 7.^[5]^[7]	1.369.851: 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69.
	Sumar 5 voltes l'últim dígit al restant dona un múltiple de 7.^[8]	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Restar el doble de l'últim dígit del restant dona com resultat un múltiple de 7.^[8]	483: 48 - (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	Sumar 3 voltes el primer dígit al següent i després escriure el restant dona un múltiple de 7.	483: 4 × 3 + 8 = 20, 203: 2 × 3 + 0 = 6, 63: 6 × 3 + 3 = 21.
	Sumar els dos últims dígits al doble del restant dona com resultat un múltiple de 7.	483.595: 95 + (2 × 4835) = 9765; 65 + (2 × 97) = 259; 59 + (2 × 2) = 63.
	Multiplica cada dígit (de dreta a esquerra) pel dígit en la posició corresponent d'este patró (d'esquerra a dreta): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (es repetix per als dígits més allà de les centenes de miller). La suma dels resultats dona un múltiple de 7.	483.595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Calcula el restant de cada parell de dígits (de dreta a esquerra) en dividir-ho entre 7. Multiplica el restant de la dreta per 1, el següent a l'esquerra per 2 i el següent per 4, repetint el patró per als parells de dígits més allà de les centenes de miller. La suma dels resultats dona com resultat un múltiple de 7.	194.536: 19\|45\|36; (5 × 4) + (3 × 2) + (1 × 1) = 27, per lo que no és divisible per 7, 204.540: 20\|45\|40; (6 × 4) + (3 × 2) + (5 × 1) = 35, per lo tant, és divisible per 7.
8	Si la sifra de les centenes és parell, el número format pels dos últims dígits deu ser divisible per 8.	624: 24.
	Si la sifra de les centenes és impar, el número format per les dos últimes sifres deu ser 4 voltes un número impar.	352: 52 = 4 × 13.
	Sumar l'últim dígit al doble del restant. El resultat deu ser divisible per 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Els últims tres dígits són divisibles per 8.^[2]^[3]	34.152: s'analisa la divisibilidad de sol 152: 19 × 8.
	La suma de la sifra de les unitats, el doble de la sifra de les decenes i quatre voltes la sifra de les centenes és divisible per 8.	34.152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16.
	Si la sifra de les centenes és parell, els dos últims dígits deuen ser 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 o 96.	34.200: el 2 és parell i els dos últims dígits són 00.
	Si la sifra de les centenes és impar, els dos últims dígits deuen ser divisibles per 4 pero no per 8, és dir, 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 o 92.	34.152: l'1 és impar i els dos últims dígits són 52.
9	La suma dels dígits és divisible per 9.^[2]^[4]^[5]	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18; 1 + 8 = 9.
9	Restar 8 voltes l'últim dígit del restant dona com resultat un múltiple de 9.	2880: 288 - 0 × 8 = 288 - 0 = 288 = 9 × 32.
10	L'últim dígit és 0.^[3]	130: el dígit de les unitats és 0.
10	És divisible per 2 i per 5.^[6]	130: és divisible per 2 i per 5.
11	Formar la suma alternada dels dígits, o equivalentemente suma(impar) × suma(parell).^[2]^[5]	918082: 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 × 11.
	Sumar els dígits de dos en dos de dreta a esquerra.^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Restar l'últim dígit del restant.^[8]	627: 62 - 7 = 55 = 5 × 11.
	Sumar 10 voltes l'últim dígit al restant.	627: 62 + 70 = 132; 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Si el número de sifres és parell, se sumixca la primera i es resta l'última.	918.082: el número de dígits és parell (6) → 1808 + 9 - 2 = 1815; 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11.
	Si el número de sifres és impar, es resten la primera i l'última.	14.179: el número de dígits és impar (5). → 417 - 1 - 9 = 407: 0 - 4 - 7 = -11 = -1 × 11.
12	És divisible per 3 i per 4.^[6]	324: és divisible per 3 i per 4.
12	Restar l'últim dígit del doble del restant.	324: 32 × 2 - 4 = 60 = 5 × 12.
13	Formar la série alternada de blocs de tres de dreta a esquerra.^[7]	2.911.272: 272 - 911 + 2 = -637.
	Sumar 4 voltes l'últim dígit al restant.^[5]	637: 63 + 7 × 4 = 91; 9 + 1 × 4 = 13.
	Restar els dos últims dígits de quatre voltes el restant.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	Restar 9 voltes l'últim dígit del restant.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	És divisible per 2 i per 7.^[6]	224: és divisible per 2 i per 7.
14	Sumar els dos últims dígits al doble del restant.	364: 3 × 2 + 64 = 70, 1,764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	És divisible per 3 i per 5.^[6]	390: és divisible per 3 i per 5.
16	Si la sifra de les unitats de miller és parell, el número format per les últimes tres sifres és divisible per 16.	254.176: 176.
	Si la sifra de les unitats de miller és impar, el número format per les tres últimes sifres deu ser 8 voltes un número impar.	3408: 408 = 8 × 51.
	Sumar els dos últims dígits al cuádruple del restant.	176: 1 × 4 + 76 = 80, 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Els últims quatre dígits són divisibles per 16.^[2]^[3]	157.648: 7648 = 478 × 16.
17	Restar 5 voltes l'últim dígit del restant.^[5]	221: 22 - 1 × 5 = 17.
	Sumar 12 voltes l'últim dígit al restant.	221: 22 + 1 × 12 = 22 + 12 = 34 = 17 × 2.
	Restar els dos últims dígits del doble del restant.	4675: 46 × 2 - 75 = 17.
	Sumar el doble de l'últim dígit al triple del restant. Elimina els zeros finals.	4675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1411: 141 × 3 + 1 × 2 = 425: 42 × 3 + 5 × 2 = 136: 13 × 3 + 6 × 2 = 51, 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	És divisible per 2 i per 9.^[6]	342: és divisible per 2 i per 9.
19	Sumar el doble de l'últim dígit al restant.^[5]	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	Sumar 4 voltes els dos últims dígits al restant.^[8]	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	És divisible per 10 i la sifra de les decenes és parell.	360: és divisible per 10 i 6 és parell.
	Els últims dos dígits són 00, 20, 40, 60 o 80.^[3]	480: 80
	És divisible per 4 i per 5.^[6]	480: és divisible per 4 i per 5.
21	Restar el doble de l'últim dígit del restant dona com resultat un múltiple de 21.^[8]	168: 16 - 8 × 2 = 0.
	Sumar 19 voltes l'últim dígit al restant dona un múltiple de 21.	441: 44 + 1 × 19 = 44 + 19 = 63 = 21 × 3.
	És divisible per 3 i per 7.^[6]	231: és divisible per 3 i per 7.
22	És divisible per 2 i per 11.^[6]	352: és divisible per 2 i per 11.
23	Sumar 7 voltes l'últim dígit al restant.^[8]	3128: 312 + 8 × 7 = 368: 36 + 8 × 7 = 92.
	Sumar 3 voltes els dos últims dígits al restant.^[8]	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
	Restar 16 voltes l'últim dígit del restant.	1012: 101 - 2 × 16 = 101 - 32 = 69 = 23 × 3.
	Restar el doble dels tres últims dígits del restant.	2.068.965: 2.068 - 965 × 2 = 138.
24	És divisible per 3 i per 8.^[6]	552: és divisible per 3 i per 8.
25	Els últims dos dígits són 00, 25, 50 o 75.	134.250: 50 és divisible per 25.
26	És divisible per 2 i per 13.^[6]	156: és divisible per 2 i per 13.
26	Restar 5 voltes l'últim dígit del doble del restant del número dona com resultat un múltiple de 26.	1248: (124 × 2) - (8 × 5) = 208 = 26 × 8.
27	Sumar els dígits en blocs de tres de dreta a esquerra.	2.644.272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Restar 8 voltes l'últim dígit del restant.^[8]	621: 62 - 1 × 8 = 54.
	Sumar 19 voltes l'últim dígit del restant.	1026: 102 + 6 × 19 = 102 + 114 = 216 = 27 × 8.
	Restar els dos últims dígits de 8 voltes el restant.	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	És divisible per 4 i per 7.^[6]	140: és divisible per 4 i per 7.
29	Sumar el triple de l'últim dígit al restant.^[8]	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	Sumar 9 voltes els dos últims dígits al restant.	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	Restar 26 voltes l'últim dígit del restant.	1015: 101 - 5 × 26 = 101 - 130 = -29 = 29 × -1
	Restar el doble dels tres últims dígits del restant.	2.086.956: 2.086 - 956 × 2 = 174.
30	És divisible per 3 i per 10.^[6]	270: és divisible per 3 i per 10.
	És divisible per 2, per 3 i per 5.^[6]	270: és divisible per 2, per 3 i per 5.
	És divisible per 2 i per 15.^[6]	270: és divisible per 2 i per 15.
	És divisible per 5 i per 6.^[6]	270: és divisible per 5 i per 6.

Eixemples passe a pas

Divisibilidad per 2

Primer, pren qualsevol número (en este eixemple, 376) i anota l'última sifra, descartant les demés. Després, pren eixe dígit (6) ignorant el restant del número i determina si és divisible per 2. Si és divisible per 2, llavors el número original és divisible per 2.

Eixemple:

376 (El número original)
37 <o> 6 </o> (Pren l'últim dígit)
6 ÷ 2 = 3 (Comprova si l'últim dígit és divisible per 2)
376 ÷ 2 = 188 (Si l'últim dígit és divisible per 2, llavors tot el número és divisible per 2)^[9]

Divisibilidad per 3 o 9

Primer, pren qualsevol número (en este eixemple serà 492) i suma cada dígit (4 + 9 + 2 = 15). Després, pren eixa suma (15) i determina si és divisible per 3. El número original és divisible per 3 (o 9) si i solament si: la suma dels seus dígits és divisible per 3 (o 9).

Sumar els dígits d'un número i repetir el procés fins que solament quede un dígit donarà com resultat el restant del número original si es dividira per nou (a menos que eixe únic dígit siga nou, en el cas del qual el número és divisible per nou i el restant és zero).

Açò es pot generalisar a qualsevol sistema de posicionament estàndar, en el cas del qual el divisor en qüestió es convertix en un menys que la base; per lo tant, en base dotze, la suma dels dígits serà igual al restant del número original si es dividix per onze, i els números són divisibles per onze solament si la sumixca de dígits és divisible per onze.

Eixemple:

492 (El número original)
4 + 9 + 2 = 15 (Sumar cada dígit)
15 és divisible per 3, per lo que es pot detindre-nos. Si el número seguix sent massa gran, es pot continuar en el mateix método:
1 + 5 = 6 (Sumar cada dígit)
6 ÷ 3 = 2 (Comprovar si el número resultant és divisible per 3)

492 ÷ 3 = 164 (Si el número obtingut és divisible per 3, llavors el número complet és divisible per 3)

Divisibilidad per 4

La regla bàsica de divisibilidad per 4 establix que si el número format pels dos últims dígits d'un número és divisible per 4, el número original també ho és.^[2]^[3] Açò es deu a que 100 és divisible per 4, per lo que sumar centenes, millers, etc., equival simplement a sumar un atre número divisible per 4. Si un número termina en dos dígits divisibles per 4 (per eixemple, 24, 04, 08, etc.), llavors el número complet serà divisible per 4, independentment de lo que hi haja abans dels dos últims dígits.

Alternativament, es pot sumar la mitat de l'últim dígit al penúltim dígit (o al restant del número). Si eixe número natural és parell, el número original és divisible per 4.

També es pot dividir el número entre 2 i comprovar si el resultat és divisible per 2. Si ho és, el número original és divisible per 4. Ademés, el resultat d'esta prova és el mateix que el número original dividit entre 4.

Eixemple:
Regla general

2092 (El número original)
20 <o> 92 </o> (Prendre els dos últims dígits del número, descartant els demés)
92 ÷ 4 = 23 (Comprovar si el número és divisible per 4)
2092 ÷ 4 = 523 (Si el número obtingut és divisible per 4, llavors el número original és divisible per 4) 4)

Segon método

6174 (el número original)
Verificar que l'últim dígit siga parell; de lo contrari, 6174 no és divisible per 4.
61 <o> 7 </o> <o> 4 </o> (Separar els dos últims dígits del restant del número)
4 ÷ 2 = 2 (últim dígit dividit entre 2)
7 + 2 = 9 (Suma la mitat de l'últim dígit al penúltim)
Com 9 no és parell, 6174 no és divisible per 4.

Tercer método

1720 (el número original)
1720 ÷ 2 = 860 (Dividix el número original entre 2)
860 ÷ 2 = 430 (Verifica el resultat) (és divisible per 2)
1720 ÷ 4 = 430 (Si el resultat és divisible per 2, llavors el número original és divisible per 4)

Divisibilidad per 5 La divisibilidad per 5 es determina fàcilment comprovant l'últim dígit del número (475) i veent si és 0 o 5. Si l'últim dígit és 0 o 5, el número complet és divisible per 5.^[2]^[3]

Si l'últim dígit del número és 0, el resultat seran els dígits restants multiplicats per 2. Per eixemple, el número 40 termina en zero, aixina que es prenen els dígits restants (4) i es multipliquen per dos (4 × 2 = 8). El resultat és el mateix que el de 40 dividit entre 5 (40/5 = 8).

Si l'últim dígit del número és 5, el resultat serà el resultat de multiplicar els dígits restants per dos i sumar un. Per eixemple, si el número 125 termina en 5, es prenen els dígits restants (12), es multipliquen per dos (12 × 2 = 24) i després se sumixca un (24 + 1 = 25). El resultat és el mateix que el de dividir 125 entre 5 (125/5 = 25).

Eixemple:
Si l'últim dígit és 0

110 (El número original)
11 <o> 0 </o> (Pren l'últim dígit del número i comprova si és 0 o 5)
<o> 11 </o> 0 (Si és 0, pren els dígits restants, descartant l'últim)
11 × 2 = 22 (Multiplica el resultat per 2)
110 ÷ 5 = 22 (El resultat és el mateix que el número original dividit entre 5)

Si l'últim dígit és 5

85 (El número original)
8 <o> 5 </o> (Prendre l'últim dígit del número i comprovar si és 0 o 5)
<o> 8 </o> 5 (Si és 5, pren els dígits restants, descartant l'últim)
8 × 2 = 16 (Multiplicar el resultat per 2)
16 + 1 = 17 (Sumar 1 al resultat)
85 ÷ 5 = 17 (El resultat és el mateix que el número original dividit per 5)

Divisibilidad per 6

La divisibilidad per 6 es determina comprovant si el número original és parell (divisible per 2) i divisible per 3.^[6]

Si l'últim dígit és parell, el número és divisible per dos i, per lo tant, pot ser divisible per 6. Si és divisible per 2, se sumen els dígits del número original i es comprova si la suma és múltiple de 3. Qualsevol número que siga múltiple de 2 i de 3 és múltiple de 6.

Eixemple:

324 (El número original)
L'últim dígit, 4, és parell, per lo que 324 és divisible per 2 i pot ser divisible per 6.
3 + 2 + 4 = 9, que és múltiple de 3. Per lo tant, el número original és divisible per 2 i per 3, i també per 6.

Divisibilidad per 7

La divisibilidad per 7 es pot comprovar per mig d'un método recursivo. Un número de la forma 10x+i és divisible per 7 si i solament si x- 2i és divisible per 7. En atres paraules, resta el doble de l'últim dígit al número format pels dígits restants. Continua fent açò fins a obtindre un número del com se sap si és divisible per 7. El número original és divisible per 7 si i solament si el número obtingut usant este procediment és divisible per 7. Per eixemple, el número 371: 37 - (2×1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = -7; per lo tant, com -7 és divisible per 7, 371 és divisible per 7.

De forma similar, un número de la forma 10x + i és divisible per 7 si i solament si x + 5i és divisible per 7.^[10] Per lo tant, se suma cinc voltes l'últim dígit al número format pels dígits restants, i es continua fent açò fins a obtindre un número del com se sap si és divisible per 7.^[5]^[11]

Un atre método és la multiplicació per 3. Un número de la forma 10x + i té el mateix restant en dividir-se per 7 que 3x + i. Es deu multiplicar el dígit de l'esquerra del número original per 3, sumar el següent dígit, prendre el restant de la divisió per 7 i continuar des del principi: multiplicar per 3, sumar el següent dígit, etc. Per eixemple, el número 371: 3 × 3 + 7 = 16 en restant 2, i 2 × 3 + 1 = 7. Este método es pot usar per a trobar el restant de la divisió per 7.^[11]

Un algoritme més complex per a comprovar la divisibilidad per 7 utilisa el fet de que 10⁰ = 1, 10¹ = 3, 10² = 2, 10³ = 6. 10⁴ = 4, 10⁵ = 5, 10⁶ = 1, ... (mod 7). Pren cada dígit del número (371) en orde invers (173), multiplicant-los successivament pels dígits 1, 3, 2, 6, 4, 5, repetint en esta seqüència de multiplicadors tantes voltes com siga necessari (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), i sumant els productes (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). El número original és divisible per 7 si i solament si el número obtingut per mig d'este procediment és divisible per 7 (per lo tant, 371 és divisible per 7, ya que 28 lo és).

Este método es pot simplificar eliminant la necessitat de multiplicar. En esta simplificació, bastaria en memorisar la seqüència anterior (132645...) i sumar i restar, sempre treballant en números d'una sola sifra.

La simplificació es realisa de la següent manera: Prenga's com a eixemple el número 371 Reemplaçar totes les aparicions de 7, 8 o 9 per 0, 1 i 2, respectivament. En este eixemple, s'obté: 301. Este segon pas es pot ometre, llevat para la sifra més a l'esquerra, pero seguir-ho pot facilitar els càlculs posteriors.

Ara, convertix el primer dígit (3) segons la següent seqüència de dígits 13264513.... En el nostre eixemple, 3 es convertix en 2.

Sumar el resultat del pas anterior (2) al segon dígit del número i substituir abdós dígits, deixant els demés sense modificar: 2 + 0 = 2. Aixina, 301 es convertix en 21. Repetir el procediment fins a obtindre un múltiple reconeixible de 7 o, per a major seguritat, un número entre 0 i 6. Aixina, partint de 21 (que és un múltiple reconeixible de 7), prendre el primer dígit (2) i conertirlo en el següent, seguint la seqüència anterior: 2 es convertix en 6. Després, sumar este resultat al segon dígit: 6 + 1 = 7.

Si en algun moment el primer dígit és 8 o 9, estos es convertixen en 1 o 2, respectivament. Pero si és un 7, deu convertir-se en 0, solament si no li seguixen atres dígits. De lo contrari, simplement es descarta. Açò es deu a que eixe 7 s'hauria convertit en 0, i els números en a lo manco dos dígits abans de la menge decimal no comencen en 0, que és inútil. Per lo tant, el nostre 7 es convertix en 0.

Si per mig d'este procediment obtens un 0 o qualsevol múltiple reconeixible de 7, llavors el número original és un múltiple de 7. Si s'obté qualsevol número entre 1 i 6, açò indicarà quànt es deu restar del número original per a obtindre un múltiple de 7. En atres paraules, es troba el restant de la divisió del número entre 7. Per eixemple, prendre el número 186:

Primer, canviar el 8 per un 1: 116. Ara, canviar l'1 pel següent dígit de la seqüència (3), suma-ho al segon dígit i escriu el resultat en lloc d'abdós: 3 + 1 = 4. Aixina, 116' es convertix en 46. Repetir el procediment, ya que el número és major que 7. Ara, 4 es convertix en 5, que se sumixca a 6. És dir, 11. Repetir el procediment una volta més: 1 es convertix en 3, que se sumixca al segon dígit (1): 3 + 1 = 4.

Ara es té un número menor que 7, i este número (4) és el restant de la divisió de 186 entre 7. Per lo tant, 186 menys 4, que és 182, deu ser un múltiple de 7.

Nota: Açò funciona perque si tenim: a+b=c i b és múltiple d'un número n donat, llavors a i c produiran necessàriament el mateix restant en dividir-los entre n. En atres paraules, en 2 + 7 = 9, 7 és divisible entre 7. Per lo tant, 2 i 9 deuen tindre el mateix restant en dividir-los entre 7. El restant és 2.

Per tant, si un número n és múltiple de 7 (és dir, el restant de n/7 és 0), llavors sumar (o restar) múltiples de 7 no pot alterar esta propietat.

Este procediment, com es va explicar anteriorment per a la majoria de les regles de divisibilidad, consistix simplement en restar múltiples de 7, poc a poc, del número original fins a obtindre un número lo suficientment chicotet com per a recordar si és múltiple de 7. Si 1 es convertix en 3 en la següent posició decimal, és lo mateix que convertir 10×10ⁿ en 3×10ⁿ. I, de fet, és lo mateix que restar 7×10ⁿ (clarament un múltiple de 7) de 10×10ⁿ.

De forma similar, en convertir un 3 en un 2 en la següent posició decimal, es convertix 30×10ⁿ en 2×10ⁿ, la qual cosa equival a restar 30×10ⁿ-28×10ⁿ, restant novament un múltiple de 7. El mateix raonament s'aplica a totes les conversió restants:

20×10ⁿ-6×10ⁿ=14×10ⁿ
60×10ⁿ-4×10ⁿ=56×10ⁿ
40×10ⁿ - 5×10ⁿ = 35×10ⁿ
50×10ⁿ - 1×10ⁿ = 49×10ⁿ

Eixemple del primer método:
1050 → 105 - 0 = 105 → 10 - 10 = 0. RESPUESTA: 1050 és divisible per 7.

Eixemple del segon método:
1050 → 0501 (invers) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicar i sumar). RESPUESTA: 1050 és divisible per 7.

Método de Pohlman-Mass per a la divisibilidad per 7:
El método de Pohlman-Mass proporciona una solució ràpida que permet determinar si la majoria dels número entero són divisibles per sèt en tres passos o menys. Este método pot ser útil en una competició de matemàtiques com MATHCOUNTS, a on el temps és un factor important per a determinar la solució sense calculadora en la ronda ràpida.

Pas A:

Si l'número entero és 1000 o menor, resta el doble de l'últim dígit al número format pels dígits restants. Si el resultat és múltiple de sèt, el número original també ho és (i viceversa). Per eixemple:

112 -> 11 - (2×2) = 11 - 4 = 7 SÍ
98 -> 9 - (8×2) = 9 - 16 = -7 SÍ
634 -> 63 - (4×2) = 63 - 8 = 55 NO

Com 1001 és divisible per sèt, s'observa un patró interessant per a conjunts repetits d'1, 2 o 3 dígits que formen números de 6 dígits (es permeten zeros inicials): tots estos números són divisibles per sèt. Per eixemple:

001 = 1001 / 7 = 143
010 = 10 010 / 7 = 1430
011 = 11 011 / 7 = 1573
100 = 100 100 / 7 = 14 300
101 = 101 101 / 7 = 14 443
110 = 110 110 / 7 = 15 730

01 = 10 101 / 7 = 1443
10 = 101 010 / 7 = 14 430

111.111 / 7 = 15.873
222.222 / 7 = 31.746
999.999 / 7 = 142.857

576.576 / 7 = 82.368

En tots els eixemples anteriors, en restar els tres primers dígits dels tres últims s'obté un múltiple de sèt. Observa que es permeten zeros inicials per a formar un patró de 6 dígits.

Este fenomen constituïx la base dels passos B i C.

Passe B: Si l'número entero està entre 1001 i un milló, troba un patró repetitiu d'1, 2 o 3 dígits que forme un número de 6 dígits propenc al sancer (es permeten zeros inicials, lo que pot ajudar-te a visualisar el patró). Si la diferència positiva és menor que 1000, aplica el pas A. Açò es pot fer restant els tres primers dígits dels tres últims. Per eixemple:

341.355 - 341.341 = 14 -> 1 - (4 × 2) = 1 - 8 = -7 SÍ
67.326 - 67.067 = 259 -> 25 - (9 × 2) = 25 - 18 = 7 SÍ

El fet de que 999.999 siga múltiple de 7 es pot usar per a determinar la divisibilidad de sancers majors que un milló, reduint el sancer a un número de 6 dígits que es pot determinar usant el Pas B. Açò es pot fer fàcilment sumant els dígits a l'esquerra dels primers sis als últims sis i després aplicant el Pas A.

Pas C: Si el sancer és major que un milló, reste el múltiple més propenc de 999.999 i després aplique el Pas B. Per a números encara majors, use conjunts més grans, com 12 dígits (999.999.999.999), etc. Després, dividix l'número entero en un número més chicotet que es puga resoldre usant el Pas B. Per eixemple:

22.862.420 - (999.999 × 22) = 22.862.420 - 21.999.978 -> 862.420 + 22 = 862,442
862.442 -> 862 - 442 (Passe B) = 420 -> 42 - (0 × 2) (Pas A) = 42 SÍ

Açò permet sumar i restar conjunts alterns de tres dígits per a determinar la divisibilidad per sèt. Comprendre estos patrons permet calcular ràpidament la divisibilidad per sèt, com es mostra en els següents eixemples:

Método de Pohlman-Mass per a la divisibilidad per 7, eixemples:

¿És 98 divisible per sèt?
98 -> 9 - (8×2) = 9 - 16 = -7 SÍ (Pas A)

¿És 634 divisible per sèt?
634 -> 63 - (4×2) = 63 - 8 = 55 NO (Pas A)

¿És 355 341 divisible per sèt?
355 341 - 341 341 = 14 000 (Passe B) -> 14 000 - 14 000 (Passe B) -> 14 000 = 1 - (4×2) (Pas A) = 1 - 8 = -7 SÍ

¿És 42 341 530 divisible per sèt?
42.341.530 -> 341.530 + 42 = 341.572 (Pas C)
341.572 - 341.341 = 231 (Passe B)
231 -> 23 - (1 × 2) = 23 - 2 = 21 SÍ (Pas A)

Usant sumes i restes alternes ràpides:
42.341.530 -> 530 - 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 - (1 × 2) = 21 SÍ

Método de multiplicació per 3 per a la divisibilidad per 7, eixemples:

¿És 98 divisible per sèt?
98 -> 9 en restant 2 -> 2 × 3 + 8 = 14 SÍ

¿És 634 divisible per sèt?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> restant 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO

¿És 355.341 divisible per sèt?
3 × 3 + 5 = 14 -> restant 0 -> 0 × 3 + 5 = 5 -> 5 × 3 + 3 = 18 -> restant 4 -> 4 × 3 + 4 = 16 -> restant 2 -> 2 × 3 + 1 = 7 SÍ

Calcular el restant d'1.036.125.837 dividit entre 7:
1 × 3 + 0 = 3
3 × 3 + 3 = 12, restant 5
5 × 3 + 6 = 21, restant 0
0 × 3 + 1 = 1
1 × 3 + 2 = 5
5 × 3 + 5 = 20, restant 6
6 × 3 + 8 = 26, restant 5
5 × 3 + 3 = 18, restant 4
4 × 3 + 7 = 19, restant 5
La resposta és 5

Càlcul del restant de la divisió d'un número entre 7

7 - (1, 3, 2, -1, -3, -2; el cicle es repetix per als següents sis dígits). Periodo: 6 dígits. Números recurrents: 1, 3, 2, -1, -3, -2

Seqüència de magnitut mínima
(1, 3, 2, 6, 4, 5; el cicle es repetix per als següents sis dígits). Periodo: 6 dígits.Números recurrents: 1, 3, 2, 6, 4, 5
Seqüència positiva

Multiplicar el dígit de la dreta pel de l'esquerra de la seqüència, i el segon dígit de la dreta pel segon de l'esquerra, i aixina successivament. A continuació, calcula la suma de tots els valors i pren el mòdul de 7. Eixemple: ¿Quin és el restant de la divisió de 1036125837 entre 7?

Multiplicació del dígit de la dreta: 1 × 7 = 7

Multiplicació del segon dígit de la dreta: 3 × 3 = 9

Tercer dígit de la dreta: 8 × 2 = 16

Quart dígit de la dreta: 5 × -1 = -5

Quint dígit de la dreta: 2 × -3 = -6

Sext dígit de la dreta: 1 × -2 = -2

Sèptim dígit de la dreta: 6 × 1 = 6

Octau dígit de la dreta: 3 × 3 = 9

Nové dígit de la dreta: 0

Dècim dígit de la dreta: 1 × -1 = -1

Suma: 33

33 mòdul 7 = 5

Restant: 5

Método de divisibilidad per 7 per parells de dígits

Este método utilisa 1, -3 i 2 dígits. Patró en els parells de dígits. És dir, la divisibilidad de qualsevol número per sèt es pot comprovar separant-ho primer en parells de dígits i després aplicant l'algoritme a tres parells de dígits (sis dígits). Si el número té menys de sis dígits, s'afigen zeros a la dreta fins a completar sis dígits. Si el número té més de sis dígits, es repetix el cicle en el següent grup de sis dígits i se sumen els resultats. Es repetix l'algoritme fins a obtindre un número menut. El número original és divisible per sèt si i solament si el número obtingut per mig d'este algoritme també ho és. Este método és especialment adequat per a números grans.

Eixemple 1:
El número a analisar és 157.514. Primer, se separa el número en tres parells de dígits: 15, 75 i 14.
Després s'aplica l'algoritme: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182
Com el resultat, 182, té menys de sis dígits, afegim zeros a la dreta fins a completar sis dígits.
Després s'aplica l'algoritme novament: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = -42
El resultat, -42, és divisible per sèt, per lo que el número original 157514 és divisible per sèt.

Eixemple 2:
El número a comprovar és 15.751.537.186.
(1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
El resultat -77 és divisible per sèt, per lo tant, el número original 15.751.537.186 és divisible per sèt.

Un atre método de divisibilidad per 7 per mig de parells de dígits

Método

Est és un método no recursivo per a trobar el restant de la divisió d'un número entre 7:

Separar el número en parells de dígits, començant per les unitats. Si és necessari, antepondre un 0 al número per a completar l'últim parell.
Calcular els restants de cada parell de dígits en dividir entre 7.
Multiplicar els restants pel multiplicador corresponent de la seqüència 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...: el restant del parell de dígits format per les unitats i les decenes es multiplica per 1; les centenes i els millers per 2; les decenes de miller i les centenes de miller per 4; els millons i les decenes de milló per 1, i aixina successivament.
Calcular els restants de cada producte en dividir entre 7.
Sumar estos restants.
El restant de la suma en dividir-la entre 7 és el restant de la divisió del número donat entre 7.

Per eixemple:

El número 194.536 deixa un restant de 6 en dividir-ho entre 7.

El número 510.517.813 deixa un restant d'1 en dividir-ho entre 7.

Prova de la correcció del método

El método es basa en l'observació de que 100 deixa un restant de 2 en dividir-ho entre 7. I com s'està descomponent el número en parells de dígits, essencialment es tenen potències de 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10.000 mod 7 = 2² = 4

1.000.000 mod 7 = 2³ = 8; 8 mod 7 = 1

100.000.000 mod 7 = 24 = 16; 16 mod 7 = 2

10.000.000.000 mod 7 = 25 = 32; 32 mod 7 = 4

I aixina successivament.

La correcció del método s'establix per mig de la següent cadena d'igualtats:

Siga N el número donat $\overline{a_{2 n} a_{2 n - 1} ... a_{2} a_{1}}$ .

$\overline{a_{2 n} a_{2 n - 1} ... a_{2} a_{1}} mod 7$

$[\sum_{k = 1}^{n} (a_{2 k} a_{2 k - 1}) \times 1 0^{2 k - 2}] mod 7$

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{2 k} a_{2 k - 1} \times 1 0^{2 k - 2}) mod 7$

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{2 k} a_{2 k - 1} mod 7) \times (1 0^{2 k - 2} mod 7)$

Un atre método d'agrupació de dígits per a determinar la divisibilidad per 7

Método

Este método determina si un número entero és divisible per 7 agrupant els seus dígits de tres en tres:

Començant per la dreta (posició de les unitats), dividixca el número en grups de tres dígits. Si és necessari, agregue zeros al principi del grup de l'esquerra per a completar-ho.

Començant pel grup de la dreta, sumix i reste alternativament els grups cap a l'esquerra. És dir, reste el segon grup del primer, sumix el tercer, reste el quarto, i aixina successivament. Calcule la suma resultant. Si el resultat és divisible per 7, llavors el número original és divisible per 7; de lo contrari, no ho és.

Eixemple:

Per a comprovar el número 10.517.815:

Agrupar els dígits:

010 | 517 | 815

Aplicar les operacions alternes:

815 - 517 + 010 = 308

Com 308 és divisible per 7, el número original també ho és.

Prova de correcció

Este método es basa en l'aritmètica modular. Observa que:

1000 = -1 (mod 7)

ya que 1000 deixa un restant de 6 en dividir-se per 7, i 6 = -1 (mod 7).

Qualsevol número entero pot expressar-se com sumixca de múltiples de potències de 1000:

N = a₀ + a₁·1000 + a₂·1000² + a₃·1000³ + ...

Simplificant mòdul 7:

N = a₀ - a₁ + a₂ - a₃ + ... (mod 7)

Per lo tant, la suma alternada dels grups de tres dígits és congruent en el número original mòdul 7. En conseqüència, el número original és divisible per 7 si i solament si esta suma alternada és divisible per 7.

Divisibilidad per 11

Método

Per a comprovar la divisibilidad per 11, considere la suma alternada dels dígits. Per eixemple, en 907.071:

9 - 0 + 7 - 0 + 7 - 1 = 22 = 2 \times 11,

Per lo tant, 907.071 és divisible per 11.

Es pot començar en $-$ o $+$ , ya que multiplicar l'número entero per $- 1$ no produïx cap canvi.

Demostració de la correcció del método

Considerant que $10 \equiv - 1 mod 1 1$ , es pot escriure per a qualsevol sancer:

$\overline{a_{n} a_{n - 1} ... a_{1} a_{0}} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} 1 0^{i} \equiv \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} a_{i} mod 1 1.$

Divisibilidad per 13

Prova del restant 13 (1, -3, -4, -1, 3, 4, el cicle continua). Si no se sent cómodo en els números negatius, utilise esta seqüència. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Multiplicar el dígit de la dreta del número pel dígit de l'esquerra en la seqüència mostrada dalt, i el segon dígit de la dreta pel segon dígit de l'esquerra. El cicle continua.

Eixemple: ¿Quin és el restant de la divisió de 321 entre 13?
Usant la primera seqüència,
Resposta: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
Restant = -17 mod 13 = 9

Eixemple: ¿Quin és el restant de la divisió d'1.234.567 entre 13?
Usant la segona seqüència,
Resposta: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Restant = 9

Es pot derivar un método recursivo utilisant el fet de que $10 = - 3 mod 1 3$ i que $1 0^{- 1} = 4 mod 1 3$ . Açò implica que un número és divisible per 13 si i solament si en eliminar el primer dígit i restar-li tres voltes eixe dígit al nou primer dígit s'obté un número divisible per 13. També es té la regla de que 10x + i és divisible si i solament si x + 4i és divisible per 13. Per eixemple, per a comprovar la divisibilidad de 1761 entre 13, es pot reduir-la a la divisibilidad de 461 per mig de la primera regla. Aplicant la segona regla, la divisibilidad es reduïx a 50, i repetint el procés, s'obté 5. Per lo tant, 1761 no és divisible per 13.

En aplicar esta prova a 871, la divisibilidad es reduïx a 91 usant la segona regla, i després a 13 usant la mateixa regla novament, per lo que veem que 871 és divisible per 13.

Vore també

Referències

↑ “Mathematical Games: Tests that show whether a large number ca be divided by a number from 2 to 12” . Scientific American 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232.
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), p. 100–101
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 ^3,7 ^3,8 A number is divisible by 2^m, 5^m or 10^m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), p. 105
↑ ^4,0 ^4,1 Apostol (1976), p. 108
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 ^5,7 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108
↑ ^6,00 ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 ^6,11 ^6,12 ^6,13 ^6,14 ^6,15 ^6,16 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107
↑ ^7,0 ^7,1 Kisačanin (1998), p. 101
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 ^8,7 ^8,8 Renault, Marc. “Stupid Divisibility Tricks - 101 Ways to Stupefy Your Friends” (en). Math Horizons 14 (2): 18–42. doi:10.1080/10724117.2006.11974676. ISSN 1072-4117.
↑ Webmaster, Remainder info. «376 Divided By 2 With Remainder» (en en). Consultat el 26 de novembre de 2025.
↑ «Divisibility Tests».
↑ ^11,0 ^11,1 «The Penguin dictionary of curious and interesting numbers».
51.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Reglas de divisibilidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] “Mathematical Games: Tests that show whether a large number ca be divided by a number from 2 to 12” . Scientific American 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232.

[Pascal's-criterion-2] 2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), p. 100–101

[last-m-digits-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 ^3,7 ^3,8 A number is divisible by 2^m, 5^m or 10^m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), p. 105

[apostol-1976-4] 4,0 ^4,1 Apostol (1976), p. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 ^5,7 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108

[product-of-coprimes-6] 6,00 ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 ^6,11 ^6,12 ^6,13 ^6,14 ^6,15 ^6,16 Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] 7,0 ^7,1 Kisačanin (1998), p. 101

[:1-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 ^8,7 ^8,8 Renault, Marc. “Stupid Divisibility Tricks - 101 Ways to Stupefy Your Friends” (en). Math Horizons 14 (2): 18–42. doi:10.1080/10724117.2006.11974676. ISSN 1072-4117.

[9] Webmaster, Remainder info. «376 Divided By 2 With Remainder» (en en). Consultat el 26 de novembre de 2025.

[10] «Divisibility Tests».

[:0-11] 11,0 ^11,1 «The Penguin dictionary of curious and interesting numbers».
51.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]