Relació de transmissió

Archiu:Engrenage cylindrique hélicoïdal caps block 0 0606.jpg

Relació de transmissió, tangencial sense esgolar.

La relació de transmissió canvia d'acort al engrane utilisat, tant en tamany com en forma.

La relació de transmissió (r_t o $i$ ) és una relació entre les velocitatés de rotació de dos o més engranages o poleas conectats entre sí, a on un component eixercix força sobre el/els atre/s. Esta relació es deu a la diferència de diàmetros de les dos rodes, que implica una diferència entre les velocitats de rotació d'abdós eixos, açò es pot verificar per mig del concepte de velocitat angular.

En canviar la relació de transmissió es canvia el parell de força aplicat. La relació de transmissió deu elegir-se cuidadosadament, de manera que el parell de l'engranage motor siga capaç de véncer l'inèrcia de l'engranage i atres forces externes per a començar el moviment, i per a que l'engranage siga capaç de soportar un parell molt gran sense fallar.

Els motors de combustió tenen un ranc útil de velocitats de rotació. Per tant, és comú que s'utilise una caixa de canvis, en la que s'oferixen distintes relacions de transmissió, de manera que el parell i la velocitat de rotació necessàries es puguen obtindre sense que el règim de gir del motor dega eixir d'eixe ranc útil. Açò no és necessari en màquines de vapor i motors elèctrics, ya que funcionen correctament a qualsevol velocitat de rotació.

Matemàticament, la relació de transmissió entre dos engranages circulares en un determinat número de dents $Z$ es pot expressar de la següent manera:

τ = \frac{ω_{2}}{ω_{1}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

A on:

$ω_{1}$ és la velocitat angular d'entrada
$ω_{2}$ és la velocitat angular d'eixida transmesa
$Z_{1}$ és el número de dents de la roda d'entrada.
$Z_{2}$ és el número de dents de la roda d'eixida.
El signe menys indica que s'invertix el sentit del gir.

Segons l'expressió anterior, la velocitat angular transmesa és inversamente proporcional al número de dents de l'engranage o al diàmetro al que es transmet la velocitat. Si no existix malbarat de calor en la transmissió del moviment llavors podem expressar la relació de velocitats angulars equivalent a la relació inversa de moments:

$M_{1}$ és el moment transmés a $ω_{1}$
$M_{2}$ és el moment que ix de la roda 2 a $ω_{2}$ .

Si un dels engranages és helicoidal i si es posa com a entrada en la conversió de la velocitat angular, llavors la velocitat d'eixida del engranage circular és $Z_{2}$ voltes més chicoteta que la velocitat de l'engranage helicoidal. En la fotografia es pot observar el cas de tal conjunt.

Existixen trens epicicloidades a on les relacions de transmissió s'obtenen per mig de la fòrmula de Willis i en la que intervenen engranages intercalados en el tren i que tenen un moviment relatiu entre l'engranage conductor i l'engranage conduït. Estos mecanismes són molt comuns en els sistemes de transmissió automàtica d'automòvils.

Equació de la relació de transmissió

Relació de transmissió, de la velocitat angular i el parell motor.

Donat un engranage format per dos rodes dentadas, cridarem $E_{1}$ al primer engranage i $E_{2}$ al segon i en el cas d'existir $E_{3}, E_{4} \dots E_{n}$ a les demés rodes dentadas, referint-nos a les característiques de la mateixa roda en el mateix subíndex, aixina els diàmetros es denominaren: $d_{1}, d_{2}, d_{3} \dots d_{n}$ .

En una roda dentada $E_{i}$ podem diferenciar les següents característiques:

r_{i} \to -

Radi de la circumferència primitiva.

d_{i} \to -

Diàmetro de la circumferència primitiva.

Z_{i} \to -

Número de dents.

n_{i} \to -

Número de revolucions donades per la roda.

e_{i} \to -

Espai recorregut per un punt de la circumferència primitiva.

ω_{i} \to -

Velocitat angular de la roda.

τ_{i} \to -

Parell motor aplicat a l'eix de la roda.

Diàmetro i número de dents

Pel càlcul d'engranages sabem que en una roda dentada es complix:

\frac{d}{Z} = \frac{p}{π} = m

a on:

d \to -

és el diàmetro de la circumferència primitiva.

Z \to -

és el número de dents.

p \to -

és el pas entre dos dents successives.

π \to -

és el Número π.

m \to -

és el mòdul.

Per a que dos rodes dentadas engranen, el pas p i el mòdul m, tenen que ser els mateixos, i no intervenen en el càlcul de la transmissió, sino en el dimensionado de la dent de l'engranage, per lo que tenim:

d_{i} = m Z_{i}

o lo que és lo mateix:

\frac{d c_{1}}{Z p_{1}} = \frac{d c_{2}}{Z p_{2}} = m [1]

a on m és constant, esta expressió determina la relació entre el diàmetro i el número de dents d'un engranage.

Eixemple:

Si en un engranage de dos rodes la primera té 21 dents i un diàmetro de 350 mm i la segona roda té 15 dents. ¿Quin és el seu diàmetro?

Partint de:

\frac{d_{2}}{d_{1}} = \frac{Z_{2}}{Z_{1}}

tenim:

d_{2} = \frac{Z_{2} \cdot d_{1}}{Z_{1}}

per als valors donats:

d_{2} = \frac{15 \cdot 350 mm}{21} = 250 mm

Diàmetro i número de revolucions

L'espai recorregut per un punt de la circumferència primitiva quan la roda gira n tornades serà la llongitut de la seua circumferència primitiva pel número de revolucions:

e_{i} = π d_{i} n_{i}

Dos rodes que giren sense esgolar recorreran el mateix espai:

\begin{matrix} e_{1} = π d_{1} n_{1} \\ e_{2} = π d_{2} n_{2} \\ e_{1} = e_{2} \end{matrix}} ⟶ d_{1} n_{1} = d_{2} n_{2} [2]

Aixina per a dos rodes que engranan, el producte del diàmetro d'una d'elles pel número de regressos que dona és igual al diàmetro de la segona roda pel seu número de revolucions.

Eixemple.

Donades dos rodes dentadas que engranan una de 450 mm de diàmetro de circumferència primitiva i l'atra de 400 mm, si la primera gira 24 revolucions.

Partint de:

d_{1} n_{1} = d_{2} n_{2}

tindrem que:

n_{2} = \frac{d_{1} \cdot n_{1}}{d_{2}}

Per als valors donats en el problema: tindrem que:

n_{2} = \frac{450 mm \cdot 24}{400 mm} = 27

Número de dents i número de revolucions

Per a relacionar el número de dents i el número de revolucions, partim de l'equació [1]

[1] \frac{d_{1}}{Z_{1}} = \frac{d_{2}}{Z_{2}}

i deduïm:

\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

i de l'equació [2]

[2] d_{1} n_{1} = d_{2} n_{2}

d'a on deduïm:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

que es pot sintetisar en:

\begin{matrix} \frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}} \\ \frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \end{matrix}} ⟶ Z_{1} n_{1} = Z_{2} n_{2} [3]

Eixemple:

Si tenim en engranage en dos rodes dentadas, la primera de 12 dents i la segona de 48 dents. Quan la primera gira un regrés. ¿Quànt gira la segona?

Partint de:

Z_{1} n_{1} = Z_{2} n_{2}

rebugem:

n_{2} = \frac{Z_{1} n_{1}}{Z_{2}}

per als valors donats, tenim:

n_{2} = \frac{12 \cdot 1}{48} = \frac{1}{4}

Quan la roda de 12 dents gira un regrés, la de 48 dents gira un quarto de regrés.

Diàmetro i velocitat de rotació

Sabent que les dos rodes giren sense esgolar, la velocitat tangencial de les dos rodes serà la mateixa, per lo tant:

V_{i} = r_{i} ω_{i} = \frac{d_{i}}{2} ω_{i}

aplicant este criteri a les dos rodes, tindrem:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{d_{1}}{2} ω_{1} \\ V_{2} = \frac{d_{2}}{2} ω_{2} \\ V_{1} = V_{2} \end{matrix}} ⟶ d_{1} ω_{1} = d_{2} ω_{2} [4]

El diàmetro d'una roda per la seua velocitat angular és igual al diàmetro de l'atra roda per la seua velocitat angular.

També és cert que el radi de la roda per la seua velocitat angular permaneix constant i el seu valor és la velocitat tangencial:

V_{t} = r_{1} ω_{1} = r_{2} ω_{2}

Eixemple:

Una rodes de 240mm de diàmetro de circumferència primitiva, gira a 30 revolucions per minut i engrana en una segona roda de 180mm de diàmetro de circumferència primitiva. ¿a que velocitat gira esta segona roda?

Partim de l'expressió:

d_{1} ω_{1} = d_{2} ω_{2}

d'a on rebugem la velocitat angular de la segona roda:

ω_{2} = \frac{d_{1} ω_{1}}{d_{2}}

Substituint els valors del problema tenim:

ω_{2} = \frac{240 mm \cdot 30 rpm}{180 mm} = 40 rpm

la segona roda gira a 40 revolucions per minut.

Número de dents i velocitat de rotació

Per a calcular la relació entre el número de dents i la velocitat de rotació, partirem de les expressions [1] i [4], en lo que tenim:

\begin{matrix} [1] \frac{d_{1}}{Z_{1}} = \frac{d_{2}}{Z_{2}} \\ [4] d_{1} ω_{1} = d_{2} ω_{2} \end{matrix}} ⟶ Z_{1} ω_{1} = Z_{2} ω_{2} [5]

En lo que es deduïx que el producte del número de dents d'una roda per la seua velocitat angular és igual al número de dents de la roda en la que engrana per la seua velocitat angular.

Eixemple:

Una roda dentada de 18 dents gira a 25 rpm i engrana en una segona roda dentada de 30 dents. ¿a que velocitat gira la segona roda?

Partim de la relació:

Z_{1} ω_{1} = Z_{2} ω_{2}

d'a on rebugem la velocitat de gir de la segona roda:

ω_{2} = \frac{Z_{1} ω_{1}}{Z_{2}}

que per als valors del problema resulta:

ω_{2} = \frac{18 \cdot 25 r p m}{30} = 15 r p m

Vore també

Transmissió mecànica

Este artícul conté una traducció derivada de «Relación de transmisión» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.