Representació irreducible

Una representació irreducible és una representació de grup sobre un espai vectorial que carix de subespacios invariantes per l'acció del grup. L'interés pràctic de les representacions irreducibles que baixe certes circumstàncies les representacions d'un grup poden caracterisar-se en térmens de les representacions irreducibles.

Definició

Donada una representació $(G,\rho ,V)$ d'un grup $G$ sobre un espai vectorial $V$:

Un subespacio vectorial $U\subset V$ es diu $G$-invariante si:

Una representació $(G,\rho ,V)$ és irreducible si no existixen subespacios tancats $G$-invariantes.

Representacions irreducibles unitàries

En certes àrees és important considerar representacions unitàries del tipo:

Grup aditiu dels reals $(ℝ,+)$

El conjunt dels número real $(ℝ,+)$ pot ser vist com un grup de Lie unidimensional. Este grup admet un conjunt infinit de representacions irreducibles unitàries $(ℝ,{\chi }_t,\mathrm{U}(1))$. De fet tota representació irreducible unitària d'este grup de Lie és de la forma:

Grup ortonormal

Per al grup ortogonal $\mathrm{O}(n)$ poden construir-se representacions unitàries sobre l'espai de funcions polinòmiques sobre la (n-1)-esfera $S^{n-1}$. Per a això es considera l'espai vectorial de funcions polinómias de n variables $ℝ[x_1,\dots ,x_n]=𝒫({ℝ}^n)$ i es definix la següent representació de $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$:

Si la representació anterior es restringix a $\mathrm{O}(n)$ es pot vore que el subespacio de polinomis homogéneus d'orde k és invariante:

I també ho és el subespacio de polinomis harmònics inclós en el conjunt anterior:

La representació (*) és irreducible sobre este últim conjunt. Ademés per l'homogeneïtat els elements de l'espai anterior es poden expressar com a funcions sobre la n-esfera unitat o n-harmònics esfèrics.

Referències

Bibliografia

• (1992) Senar-Abelian Harmonic Analysis: Applications of SL(2,R) (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 0-387-97768-6.