Série de Bertrand

Sean α i β dos número real. Cridem série de Bertrand (en honor al matemàtic Joseph Bertrand) a la série de térmens reals positius següent :

$\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}.$

Condició de convergència

Enunciat

La série de Bertrand associada a α i β convergix si i només si α > 1 o (α = 1 i β > 1).

Esta condició necessària i suficient es resumix en l'expressió: (α, β) > (1, 1), a on l'orde del parell ordenat de reals és l'orde alfabètic (prenent primer α i, si α = 1, mirem β).

Demostració pel criteri de comparació

La série de Bertrand es comporta igual que l'integral en +∞ de la funció

$f:x\mapsto \frac{1}{x^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }}$

(positiva en (1,+∞)),sempre i quan $f$ siga decreixent a partir d'un cert valor de $x$.

Quan esta hipòtesis (monotonia decreixent) no es complix, és dir quan α < 0 o (α = 0 i β < 0), tenim una série creixent a partir d'un $x$ i, per no complir la condició necessària de convergència és divergent.

Quan es complix, és dir quan (α = 0 i β ≥ 0) o α > 0, la convergència de la série equival a la integrabilidad en +∞ de la funció anterior o, per canvi de variable $y=ln(x)$, de la funció

$y\mapsto {\mathrm{e}}^{(1-\alpha )y}{y}^{-\beta }.$

• Si 1 – α < 0, esta funció de $y$ és integrable en +∞ ya que és està acotada per una atra exponencial: $f\in O({\mathrm{e}}^{-\gamma y})$ para tot γ ∈ ]0, α – 1[.

• Si α = 1, és integrable en +∞ si i només si β > 1.
• Si 1 – α > 0, no és integrable en +∞ puix tendix cap a +∞.