Série telescòpica

Archiu:Telescoping Series.png

Série telescòpica

En matemàtiques, una série telescòpica és aquella série que les seues sumes parcials posseïxen un número fix de térmens despuix de la seua cancelació.

$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\dots +(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1$

Un eixemple típic de série telescòpica és la série de Mengoli, que es definix

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

i pot calcular-se segons

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1-\frac{1}{N+1}\right]=1.\end{array}$

En general

Siga $a_n$ una seqüència de números. Llavors,

$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{N+1},$

i, si $a_{N+1}\to 0$,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a_{n+1})=a_1.$

Excepcions

Encara que les séries telescòpiques poden resultar una tècnica útil, hi ha alguns inconvenients en els que cal contar. El procediment

$0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=0$

no és correcte perque esta forma de reagrupar els térmens solament és vàlida si els térmens per separat convergixen a 0. El modo d'evitar este error és, en primer lloc, trobar la suma dels N primers térmens i, en segon lloc, aplicar el llímit en N aproximant-se a l'infinit.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\\ & =1-\frac{1}{N+1}\to 1\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}N\to \mathrm{\infty }.\end{array}$

Vore també

• Série de Grandi
• Série dels inversos dels número primo
• Teorema del punt fix de Lefschetz
• Homologia (matemàtica)
• Teorema fonamental del càlcul