Semicontinuïtat

En anàlisis matemàtic, la semi-continuïtat és una propietat de la funcions reals més dèbil que el concepte de continuïtat. Coloquialment, una funció real es diu semi-contínua superiormente en un punt x₀ si els valors de la funció en punts propencs a x₀ són pròxims a f(x₀) o menors que f(x₀). Similarment, si els valors de la funció en dit entorn són "majors que" en lloc de "menors que", es diu que la funció és semi-contínua inferiormente en x₀.

Eixemples

Funció semi-contínua superiorment. El punt blau es referix a f(x₀).

Considerem la següent funció definida per trams, f(x) = –1 si x < 0 i f(x) = 1 si x ≥ 0. Esta funció és semi-contínua superiorment pero no inferiorment.

Funció semi-contínua inferiorment. El punt blau es referix a f(x₀).

La funció de part sancera, $f(x)=\lfloor x\rfloor$, que assigna a cada número real el sancer menor o igual a dit número és semi-contínua superiorment en tot el seu domini, similarment $f(x)=\lceil x\rceil$, que assigna a cada número real el sancer major o igual a dit número, és semi-contínua inferiorment en tot el seu domini.

Una funció pot ser semi-contínua inferiorment o superiorment sense necessàriament ser contínues per la dreta o per l'esquerra com podem vore en el següent eixemple:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{si }0\le x<1,\\ 2& \text{si }x=1,\\ 1/2+(1-x)& \text{si }x>1,\end{array}$

una funció que és semi-contínua superiorment en x = 1 pero que no és contínua per la dreta o per l'esquerra. El llímit per la dreta és 1 mentres que el llímit per l'esquerra és 1/2. Similarmente:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin (1/x)& \text{si }x\ne 0,\\ 1& \text{si }x=0,\end{array}$

és semi-contínua superorment en x = 0 pero els seus llímits per la dreta o per l'esquerra no existixen per a dit punt.

Vore també

• Funció discontínua

Bibliografia

• (2001) Diccionari de matemàtica. ISBN 84-8055-355-3.
• Spivak, Michael (1970). Calculus. Càlcul Infinitesimal, Barcelona: Reverté.