Seminorma

Una seminorma és una generalisació del concepte de norma vectorial que es definix a partir d'un producte escalar el qual no és definit positiu o es diu que és semiescalar.

Definició

Siga V un espai vectorial real. Cridem producte semiescalar sobre $V\times V$ al mapage $\{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R$ tal que satisfà les següents condicions

i. $((\sum _{i=1}^n{\lambda }^i{x}_i,y))=\sum _{i=1}^n{\lambda }^i((x_i,y))$, linealidad respecte a $x$

ii. $((x,\sum _{j=1}^m{\mu }^j{y}_j))=\sum _{j=1}^m{\mu }^j((x,y_j))$, linealidad respecte a $y$

iii. $((x,y))=((y,x))$, simetria

iv. $((x,x))>=0$ per a tota $x\in V$, positividad.

Si $((x,y))$ és un producte semiescalar llavors $||x||=\sqrt{((x,x))}$ és una seminorma. I serà una norma si $((x,y))$ és un producte escalar en la condició (iv) $((x,x))>0$, és dir definida positiva.

Referències

• Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.