Sigma aditividad

Archiu:Countable additivity of a measure.svg

Eixemple gràfic de aditividad.

En matemàtiques, aditividad (específicament aditividad finita) i sigma aditividad (també cridada aditividad contable) d'una funció (a sovint una mida) definida en els subconjunts d'un conjunt dau, són abstracció de cóm se sumen propietats intuïtives de mida (llongitut, àrea, volum) d'un conjunt quàn es consideren objectes múltiples. Aditividad és una condició més dèbil que σ-aditividad, i σ-aditividad implica aditividad.

Funcions aditivas

Siga $𝒜$ un àlgebra de conjunts i siga $\mu :𝒜⟶[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ una funció (vore recta real estesa).

La funció $\mu$ es diu aditiva o aditiva finita si quan $A$ i $B$ són conjunts disjuntos en $𝒜$, es té:

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

Una conseqüència d'açò és que una funció aditiva no pot prendre els valors $-\mathrm{\infty }$ ni $+\mathrm{\infty }$, puix l'expressió $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ no està definida.

Es pot provar per inducció que per a qualsevol colecció finita de conjunts disjuntos $A_1,A_2,\dots ,A_n\in 𝒜$, una funció aditiva satisfà:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mu (A_i)$.

Funcions σ-aditivas

Siga $𝒜$ una σ-àlgebra de conjunts i siga $\mu :𝒜⟶[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ una funció.

La funció $\mu$ es diu σ-aditiva o aditiva numerable si quan $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒜$ és una successió de conjunts disjuntos dos a dos, es té:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$.

Qualsevol funció σ-aditiva és aditiva pero no viceversa.

Vore també

• mida firmada
• mida (matemàtiques)
• mapa aditiu
• funció subaditiva
• mida σ-finita
• Teorema de Hahn-Kolmogorov
• τ-aditividad