Simetrización i antisimetrización

La simetrización i antisimetrización d'un tensor són operacions que a partir d'un tensor produïxen un tensor del mateix tipo, pero en certa simetria afegida en un conjunt triat d'índexs.

El tensor resultant sol nomenar-se de la mateixa manera que el tensor original, salve per l'us de paréntesis per a denotar al conjunt d'índexs simetrizados o de corchetes per al conjunt d'índexs antisimetrizados. Per eixemple, la simetrización del tensor $T_{i j}$ en tots els seus índexs és el tensor simètric $T_{(i j)} = \frac{1}{2} (T_{i j} + T_{j i})$ , mentres que el seu antisimetrización seria el tensor antisimètric $T_{[i j]} = \frac{1}{2} (T_{i j} - T_{j i})$ .

Simetrización

Es definix l'operació de simetrización sobre k índexs del mateix tipo (tots covariants o tots contravariantes) d'un tensor qualsevol segons la fòrmula:

A_{(m_{1} \dots m_{k}) m_{k + 1} \dots m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}} = \frac{1}{k!} \sum_{σ (m_{1} \dots m_{k})} A_{σ (m_{1}) \dots σ (m_{k}) m_{k + 1} \dots m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}}

.

Observem cóm la suma s'estén a totes les permutació dels índexs que apareixen rodejats per paréntesis. $σ (m_{1} \dots m_{k})$ . Per eixemple:

A_{(k l m)} = \frac{1}{3!} (A_{k l m} + A_{l m k} + A_{m k l} + A_{k m l} + A_{l k m} + A_{m l k})

.

Antisimetrización

De la mateixa manera es definix la antisimetrización en k índexs del mateix tipo com:

A_{[m_{1} \dots m_{k}] m_{k + 1} \dots m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}} = \frac{1}{k!} \sum_{σ (m_{1} \dots m_{k})} (- 1)^{sgn σ} A_{σ (m_{1}) \dots σ (m_{k}) m_{k + 1} \dots m_{q}}^{n_{1} \dots n_{p}}

.

De nou la suma recorre totes les possibles permutació dels índexs antisimetrizados, pero ara el factor $sgn σ$ té en conte la paritat de la permutació.

Eixemples:

A_{[k l m]} = \frac{1}{3!} (A_{k l m} + A_{l m k} + A_{m k l} - A_{k m l} - A_{l k m} - A_{m l k})

;

A_{k}^{q [l} B_{p r}^{m]} = \frac{1}{2!} (A_{k}^{q l} B_{p r}^{m} - A_{k}^{q m} B_{p r}^{l})

.

Bibliografia

Roger Penrose, Wolfgang Rindler. Spinors and space-clave: Two-spinor calculus and relativistic fields, Volum 1. Univ. Pr., 2003. ISBN 0521245273, 9780521245272. Secció 3.3 Symmetry operations (pg 132)

Este artícul conté una traducció derivada de «Simetrización y antisimetrización» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.