Super àlgebra de Lie

En matemàtica, una super àlgebra de Lie és la generalisació d'un àlgebra de Lie. Les super àlgebra de Lie són importants en física teòrica en a on s'utilisen per a descriure la matemàtica de la supersimetría. En estes teories, els elements pares de la super àlgebra corresponen als bosones i els elements impars als fermiones. Una super àlgebra de Lie és un àlgebra sobre un cos de característica 0 Z₂-graduada el producte de la qual [ ·, · ], cridat el super corchete de Lie o el super commutador, satisfà

• $[x,y]=-(-1{)}^{|x||y|}[y,x]$
• $(-1{)}^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1{)}^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1{)}^{|y||z|}[z,[x,y]]=0$

a on x, i, i z són purs en la Z₂-graduació. Ací |x| denota el grau de x (0 o 1).

Les super àlgebra de Lie són una generalisació natural de les àlgebras de Lie normals per a incloure una Z₂-graduació. De fet, les condicions antedichas en el super corchete són exactament aquelles en el corchete normal de Lie en les modificacions fetes per a la graduació. L'última condició a voltes es diu la super identitat de Jacobi.

El subalgebra parell d'una super àlgebra de Lie forma un àlgebra de Lie (normal) posat que tots els signes desapareixen, i el super corchete es reduïx a un corchete normal de Lie.

Vore també

• Àlgebra de Virasoro
• Supergrupo,
• Superespacio,
• grup quàntic,
• àlgebra de Grassmann,
• àlgebra de Lie de aniones
• Commutador (matemàtica)

Referències

• Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8--96.