Commutador (matemàtica)

En matemàtiques, el commutador indica fins a quin punt una determinada operació binaria no és conmutativa. Existixen distintes definicions utilisades en la teoria de grups i en la teoria d'anells.

Teoria de grups

El commutador de dos elements, g i h, d'un grup G, és l'element

[g, h] = g⁻¹h⁻¹gh

Este element és igual a l'identitat del grup si i només si g i h commuten (a partir de la definició gh = hg [g, h], sent [g, h] igual a l'identitat si i només si gh = hg).

El conjunt de tots els commutadors d'un grup no és en general tancat baix l'operació de grup, pero el subgrup de G generat per tots els commutadors és tancat i es denomina grup derivat o subgrup commutador de G. Els commutadors s'utilisen per a definir grups nilpotents i solubles i el major grup abeliano cocient.

La definició del commutador anterior s'utilisa a lo llarc d'este artícul, pero molts atres teòrics de grups definixen el commutador com:

[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹.^[1]^[2]

Identitats (teoria de grups)

Les identitats de commutador són una ferramenta important en la teoria de grups.^[3] L'expressió a^x denota el conjugat de a per x, definit com a x^-1ax.

$x^{y} = x [x, y] .$
$[y, x] = [x, y]^{- 1} .$
$[x, z y] = [x, y] \cdot [x, z]^{y}$ i $[x z, y] = [x, y]^{z} \cdot [z, y] .$
$[x, y^{- 1}] = [y, x]^{y^{- 1}}$ i $[x^{- 1}, y] = [y, x]^{x^{- 1}} .$
${[[x, y^{- 1}], z]}^{y} \cdot {[[y, z^{- 1}], x]}^{z} \cdot {[[z, x^{- 1}], y]}^{x} = 1$ i $[[x, y], z^{x}] \cdot [[z, x], y^{z}] \cdot [[y, z], x^{y}] = 1.$

L'identitat (5) també es coneix com a identitat Hall-Witt, en honor a Philip Hall i Ernst Witt. És un anàlec en teoria de grups de l'identitat de Jacobi per al commutador en teoria d'anells (vore la secció següent).

N.B., la definició anterior del conjugat de a per x és utilisada per alguns teòrics de grups.^[2] Molts uns atres teòrics de grups definixen el conjugat de a per x com xax^-1.^[1]A sovint açò s'escriu com $^{x} a$ . Per a estos convenis s'apliquen identitats similars.

S'utilisen moltes identitats que són verdaderes mòdul a certs subgrups. Estes poden ser especialment útils en l'estudi de grups resolubles i grups nilpotents. Per eixemple, en qualsevol grup, les segones potències es comporten be:

$(x y)^{2} = x^{2} y^{2} [y, x] [[y, x], y] .$

Si el subgrup derivat és central, llavors

$(x y)^{n} = x^{n} y^{n} [y, x]^{(\binom{n}{2})} .$

Teoria dels anells

A sovint, els anells no admeten la divisió. Aixina, el commutador de dos elements a i b d'un anell (o de qualsevol àlgebra associativa) es definix de forma diferent per:

$[a, b] = a b - b a .$

El commutador és zero si i només si a i b commuten. En àlgebra llineal, si dos endomorfismes d'un espai estan representats per matrius conmutativas en térmens d'una base, llavors també ho estan en térmens de totes les bases. Utilisant el commutador com un soport de Lie, tota àlgebra associativa pot convertir-se en un àlgebra de Lie.

El anticomutador de dos elements a i b d'un anell o àlgebra associativa es definix per:

${a, b} = a b + b a .$

Algunes voltes, $[a, b]_{+}$ s'utilisa per a denotar el anticonmutador, mentres que $[a, b]_{-}$ s'utilisa llavors per al commutador.^[4] El anticonmutador s'utilisa en menys freqüència, pero pot amprar-se per a definir àlgebra de Clifford i àlgebra de Jordan i en la derivació de l'equació de Dirac en física de partícules.

El commutador de dos operadors que actuen sobre un espai de Hilbert és un concepte central de la mecànica quàntica, ya que quantifica fins a quin punt els dos observables descrits per estos operadors poden medir-se simultàneament. El principi d'incertitut és, en última instància, una teorema sobre dits commutadors, en virtut de la relació Robertson-Schrödinger.^[5] En l'espai de fases, els commutadors equivalents dels productes-estrela de funcions es denominen corchetes de Moyal i són completament isomorfos a les estructures de commutadors de l'espai de Hilbert mencionades.

Identitats (teoria dels anells)

El commutador té les següents propietats:

Identitats d'àlgebra de Lie

$[A + B, C] = [A, C] + [B, C]$
$[A, B C D] = [A, B] C D + B [A, C] D + B C [A, D]$
$[A, B C D E] = [A, B] C D E + B [A, C] D E + B C [A, D] E + B C D [A, E]$
$[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B$
$[A B C, D] = A B [C, D] + A [B, D] C + [A, D] B C$
$[A B C D, E] = A B C [D, E] + A B [C, E] D + A [B, E] C D + [A, E] B C D$
$[A, B + C] = [A, B] + [A, C]$
$[A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]$
$[A B, C D] = A [B, C] D + [A, C] B D + C A [B, D] + C [A, D] B = A [B, C] D + A C [B, D] + [A, C] D B + C [A, D] B$
$[[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C]$

Si A és un element fix d'un anell R, l'identitat (1) pot interpretar-se com una regla de Leibniz per al mapa ${ad}_{A} : R \to R$ dau per ${ad}_{A} (B) = [A, B]$ . En atres paraules, el mapa ad_A definix una derivació en l'anell R. Les identitats (2), (3) representen regles de Leibniz para més de dos factors, i són vàlides per a qualsevol derivació. Les identitats (4)-(6) també poden interpretar-se com a regles de Leibniz. Les identitats (7), (8) expressen Z-bilinealidad.

De l'identitat (9) es deduïx que el commutador de potències sanceres d'elements de l'anell és:

$[A^{N}, B^{M}] = \sum_{n = 0}^{N - 1} \sum_{m = 0}^{M - 1} A^{n} B^{m} [A, B] A^{N - n - 1} B^{M - m - 1}$

Algunes de les identitats anteriors poden estendre's al anticonmutador utilisant la notació anterior ± subíndex.^[6] Per eixemple:

$[A B, C]_{\pm} = A [B, C]_{-} + [A, C]_{\pm} B$
$[A B, C D]_{\pm} = A [B, C]_{-} D + A C [B, D]_{-} + [A, C]_{-} D B + C [A, D]_{\pm} B$
$[[A, B], [C, D]] = [[[B, C]_{+}, A]_{+}, D] - [[[B, D]_{+}, A]_{+}, C] + [[[A, D]_{+}, B]_{+}, C] - [[[A, C]_{+}, B]_{+}, D]$
$[A, [B, C]_{\pm}] + [B, [C, A]_{\pm}] + [C, [A, B]_{\pm}] = 0$
$[A, B C]_{\pm} = [A, B]_{-} C + B [A, C]_{\pm} = [A, B]_{\pm} C \mp B [A, C]_{-}$
$[A, B C] = [A, B]_{\pm} C \mp B [A, C]_{\pm}$

Identitats exponencials

Considerem un anell o àlgebra en el que l'exponencial $e^{A} = \exp (A) = 1 + A + \frac{1}{2!} A^{2} + \dots$ pot definir-se en sentit, com un àlgebra de Banach o un anell de séries de potències formals.

En tal anell, el lema de Hadamard aplicat a commutadors anidados dona:

$e^{A} B e^{- A} = B + [A, B] + \frac{1}{2!} [A, [A, B]] + \frac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots = e^{{ad}_{A}} (B) .$ (Per a l'última expressió, vore Derivació adjunta més alvance.) Esta fòrmula subyacer a l'expansió Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp(A) exp(B)).

Una expansió similar expressa el commutador de grup d'expressions $e^{A}$ (anàlecs als elements d'un grup de Lie) en térmens d'una série de commutadors anidados (corchetes de Lie),

$e^{A} e^{B} e^{- A} e^{- B} = \exp ([A, B] + \frac{1}{2!} [A + B, [A, B]] + \frac{1}{3!} (\frac{1}{2} [A, [B, [B, A]]] + [A + B, [A + B, [A, B]]]) + \dots) .$

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Fraleigh, John B. (1976). A First Course in Abstract Algebra (en en), Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-01984-1.
↑ ^2,0 ^2,1 Wiley.
↑ University of London.
↑ McGraw Hill.
↑ Addison-Wesley.
↑ Theoretical and Mathematical Physics.doi:10.1007/s11232-014-0161-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conmutador (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Fraleigh, John B. (1976). A First Course in Abstract Algebra (en en), Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-01984-1.

[:1-2] 2,0 ^2,1 Wiley.

[3] University of London.

[4] McGraw Hill.

[5] Addison-Wesley.

[6] Theoretical and Mathematical Physics.doi:10.1007/s11232-014-0161-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]