Teorema de Fortescue

La teorema de Fortescue o teorema dels components simètriques és un dels teoremas més importants en l'ingenieria elèctrica. S'utilisa per a simplificar l'anàlisis dels sistemes d'energia trifásicos no balancejats, puix permet escriure de forma general un sistema polifàsic desbalanceado (en n fases) com la suma de n sistemes simètrics aplicant el principi de superposició, sempre i quan les corrents i tensions del sistema es relacionen en impedència llineals. D'un atre modo, el principi de superposició no és aplicable.

La teorema va ser presentada per primera volta per Charles Legeyt Fortescue en un artícul presentat en 1918 titulat "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". L'artícul va ser adoptat en empreses del sector elèctric usant-se en l'ajust del sistema de proteccions i dimensionament d'equips.

Expandint un diagrama d'una llínea per a mostrar la seqüència positiva, seqüència negativa i impedència de seqüència zero de generadors i transformadors i atres dispositius, en l'anàlisis les condicions de desbalanceo de la llínea senzilla a terra per una falla o fuga de corrent de curt circuit se simplifica considerablement. La tècnica també pot estendre's el seu us per a sistemes en major cantitat de fases.

Físicament, en un sistema trifásico, un conjunt de corrents positives produïxen un camp rotatori normal, un conjunt de corrents negatives produïxen un camp en rotació oposta i la seqüència zero produïx un camp que oscila pero no gira. Des de que estos efectes poden ser detectats físicament, la ferramenta matemàtica va aplegar a ser la base per al disseny de relevadores de protecció, els quals usen voltage i corrents de seqüència negativa com un indicador confiable de condicions de falla. Dits relevadores deuen ser usats per a activar els disyuntores o interruptors automàtics o seguir atres passos per a protegir sistemes elèctrics. La tècnica analítica va ser adoptada i millorada per ingeniers de General Electric i Westinghouse i despuix de la Segona Guerra Mundial, el método va ser acceptat per a l'anàlisis de sistemes asimètrics.

Demostració

L'estudi de màquines elèctriques rotatives depén en gran part del sistema de coordenades elegit. Segons a on s'han elegit tres fasors cooplanares i congruents en un punt, existixen sis graus de llibertat: la magnitut i àngul per a cada u d'ells. Si s'elegix per eixemple una condició que pot ser que la suma dels tres fasors siga nula, un d'estos està determinat per la suma dels atres dos, en lo que s'han eliminat dos graus de llibertat.

Per a un sistema general de $n$ fasors coplanares i congruents en un punt, per tant, existiran $2\cdot n$ graus de llibertat. És possible, per mig d'una transformació escriure els $n$ vectores com $n$ sistemes en un punt en comú.

Aplicació en sistemes trifásicos

Esta teorema és usada de forma intensiva en l'anàlisis de falles en sistemes de potència trifasicos i en l'anàlisis de màquines elèctriques trifasicas baix condicions no balancejades.

La teorema de Fortescue establix que si es té un sistema trifasico qualsevol a on els seus components simples siguen $I_a$, $I_b$ i $I_c$, el sistema es pot representar de la següent manera aixina:

$I_a=I_a^0+I_a^{+}+I_a^{-}$

$I_b=I_b^0+I_b^{+}+I_b^{-}$

$I_c=I_c^0+I_c^{+}+I_c^{-}$

a on $I_a^0$, $I_b^0$, $I_c^0$ constituïxen un sistema en el qual $I_a^0$=$I_b^0$=$I_c^0$ (iguals en magnitut i en fase). $I_a^{+}$, $I_b^{+}$, $I_c^{+}$ constituïxen un sistema de seqüència positiu, en el qual es complix que $I_b^{+}=a^2\cdot I_a^{+}$ i $I_c^{+}=a\cdot I_a^{+}$.

De forma matemàtica la teorema s'escriu com seguix;

A on $I_a$, $I_b$ i $I_c$ representen el sistema desbalanceado que es vol representar com un equilibrat, $I_a^{+}$ es denomina sistema de seqüència positiva o directa, $I_a^{-}$ sistema de seqüència negatiu inversa i $I_a^0$ sistema de seqüència zero o homopolar. L'operador a representa el desfasament 120°. El seu valor és $a=\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}$. Encara que el signe d'este desfasament serà diferent en funció de si operem en sens o cosenos. Açò es deu a que el desfasament entre sen i coseno és de 90°.

Per a que existixca component de seqüència homopolar el sistema té que ser desequilibrat (sumixca dels components del sistema no nula).