Fasor

Diagrama fasorial de l'impedència de distints elements d'un circuit. El fasor roig és l'impedència total en série, suma dels atres tres fasors.

Un fasor és una representació gràfica d'un número complejo que s'utilisa per a representar una oscilació, de manera que el fasor suma de varis fasors pot representar la magnitut i fase de l'oscilació resultant de la superposició de vàries oscilacions en un procés d'interferència.

Els fasors s'utilisen directament en ingenieria elèctrica, òptica, ingenieria de telecomunicacions i acústica. La llongitut del fasor dona l'amplitut; i l'àngul entre el mateix i l'eix-x la fase angular. Per les propietats de la matemàtica d'oscilacions, en electrònica els fasors s'utilisen habitualment en l'anàlisis rudimentari de circuits en AC. Finalment, els fasors poden ser utilisats per a descriure el moviment d'un oscilador. Les proyeccions del fasor en els eixos x i i tenen diferents significats físics.

Els fasors s'usen sobretot per a resoldre visualment problemes del tipo: "existixen vàries ones de la mateixa freqüència pero fases i amplitut diferents interferint en un punt, ¿com és l'intensitat resultant?". Per a solucionar este problema, es dibuixa un fasor per a cada una de les oscilacions en dit punt i despuix s'aplica la suma fasorial (similar a la suma vectorial) sobre ells. La llongitut del fasor resultant és l'amplitut de l'oscilació resultant, i la seua llongitut pot elevar-se al quadrat per a obtindre l'intensitat. Note's que mentres que la suma de vàries oscilacions sinusoidals no és necessàriament una atra oscilació sinusoidal, la suma de vàries oscilacions sinusoidals de la mateixa freqüència sí ho és, permetent llegir la fase resultant com l'àngul del fasor resultant.

Definició

Archiu:Sumafasores.gif

Evolució de dos magnituts senoidales de la mateixa freqüència i de la seua suma en forma temporal i fasorial.

Una sinusoide o oscilació sinusoidal està definida com una funció de la forma

$y=A\mathrm{sen}(\omega t+\varphi )$

a on

• i és la magnitut que varia (oscila) en el temps
• $\varphi$ és una constant (en radianés) coneguda com l'àngul de fase de la sinusoide
• A és una constant coneguda com l'amplitut de la sinusoide. És el valor de pico de la funció sinusoidal.
• ω és la freqüència angular donada per $\omega =2\pi f$ a on f és la freqüència.
• t és el temps.

Açò pot ser expressat com

$y=\mathrm{\Im }\{A(\cos (\omega t+\varphi )+i\mathrm{sen}(\omega t+\varphi ))\}$

a on

• i és l'unitat imaginària definida com $i^2=-1$. En ingenieria elèctrica i telecomunicacions s'usa "j" en lloc de "i" per a evitar les confusions que es produirien en el mateix símbol que s'usa per a designar l'intensitat de la corrent elèctrica.
• $\mathrm{\Im }(Y)$ dona la part imaginària de l'número complejo "I".

De forma equivalent, segons la fòrmula de Euler,

$y=\mathrm{\Im }(A{e}^{i(\omega t+\varphi )})$

$y=\mathrm{\Im }(A{e}^{i\varphi }{e}^{i\omega t})$

La representació del fasor d'esta sinusoide, "I", es definix de la forma següent:

$Y=A{e}^{i\varphi }$

de manera que

$y=\mathrm{\Im }(Y{e}^{i\omega t})$

Aixina, el fasor I és l'número complejo constant que conté la magnitut i fase de la sinusoide. Per a simplificar la notació, els fasors s'escriuen habitualment en notació angular:

$Y=A\mathrm{\angle }\varphi$

Dins de l'ingenieria elèctrica, l'àngul fase s'especifica habitualment en graus sexagesimals en lloc d'en radianes i la magnitut sol ser el valor eficaç en lloc del valor de pico de la sinusoide.

Aplicacions

Lleis de circuits

Utilisant fasors, les tècniques per a resoldre circuits de corrent contínua es poden aplicar per a resoldre circuits llineals en corrent alterna. A continuació s'indiquen les lleis bàsiques.

Llei de Ohm per a resistores

Una resistència no produïx retarts en el temps, i per tant no canvia la fase d'una senyal. Per tant, la relació $V=I\cdot R$ seguix sent vàlida.

Llei de Ohm per a inductores i capacitores

L'impedència complexa Z conté part real (R, de la resistència) i part imaginària (X, de la capacitat i la autoinducción) ve donada per la relació $Z=R+jX$, a on j és l'unitat imaginària.

La llei de Ohm per a resistències, bobines i condensadores és $V=Z\cdot I$ a on Z és l'impedència complexa.

Lleis de Kirchhoff

Les lleis de Kirchhoff són vàlides en fasors en forma complexa.

Potència complexa

En un circuit AC es presenta una potència activa (P) que és la representació de la potència mija en un circuit i una potència reactiva (Q) que indica el fluix de potència arrere i alvance. Es pot definir també la potència complexa S=P+jQ i la potència aparent que és la magnitut de S. La llei de la potència per a un circuit AC expressada per mig de fasors és llavors S=VI^* (a on I^* és el complex conjugat de I).

Principi de superposició

Donat açò, es poden aplicar les tècniques d'anàlisis de circuits resistivos en fasors per a analisar circuits AC d'una sola freqüència que contenen resistències, bobines i condensadores. Els circuits AC en més d'una freqüència o en formes d'oscilació diferents poden ser analisats per a obtindre tensions i corrents transformant totes les formes d'oscilació en els seus components sinusoidals i despuix analisant cada freqüència per separat. Este método, resultat directe de l'aplicació del principi de superposició, no es pot amprar per al càlcul de potències, ya que estes no es poden descompondre linealment en ser producte de tensions i intensitat. No obstant, sí és vàlit resoldre el circuit per mig de métodos de superposició i, una volta obtinguts V i I totals, calcular en ells la potència. Açò aplica per a senyals senoidales en estat estable, açò és, en acabant de que els transitoris han passat.

Sistemes de potència

En l'anàlisis de sistemes de potència trifásicos en AC, s'utilisa el fasor $a=e^{j\frac{2\pi }{3}}$com per a definir la raïl d'una gaveta unitària.

Màquines rotatòries

Per a l'anàlisis de màquines rotatòries s'utilisen tècniques vectorials conegudes com fasors espacials.

Vore també

• Domini de la freqüència