Teorema de Kawasaki

En este eixemple, la suma alternada dels ànguls (en sentit de les agulles del rellonge i des d'avall a la dreta) és 90° − 45° + 22,5° − 22,5° + 45° − 90° + 22,5° − 22,5° = 0°. Com dona zero, el patró pot plegar-se en un pla.

La teorema de Kawasaki o teorema de Kawasaki-Justin és un teorema de la disciplina de les matemàtiques del origami que caracterisa els patrons de plecs en un sol vèrtiç que poden ser doblats per a formar una figura plana. Enuncia que el patró és plegable pla si i només si sumant i restant alternativament els ànguls entre els plecs al voltant del vèrtiç dona una suma alternada de zero. Els patrons de plec de més d'un vèrtiç no obedixen a un criteri tan simple i són, de fet, NP-complexos de doblar.

La teorema du el nom d'un dels seus descobridors, Toshikazu Kawasaki. No obstant, atres persones varen contribuir al seu descobriment, per lo que a voltes també és cridada teorema de Kawasaki-Justin o teorema de Husimi en honor a Jacques Justin i Kôdi Husimi.

Enunciat

Un patró de plec d'un vèrtiç consistix en un conjunt de llínees o plecs dibuixades sobre una full de paper plana, totes concurrente en un únic punt en l'interior del paper, el vèrtiç del patró. Cada llínea deu ser doblada, encara que no s'especifica si els plecs deuen ser montanya o vall. L'objectiu és determinar si és possible doblar el paper de manera que cada llínea quede doblada, no hi haja més dobleces que les de les llínees, i el full de paper doblada quede plana.

Per a que el paper es doble pla el número de plecs deu ser parell. Açò es deduïx, per eixemple, del teorema de Maekawa, que té per corolari (vore l'artícul sobre esta teorema) que si una figura és plana, el número de plecs en cada vèrtiç és parell. Per contrarrecíproco, si hi ha un número impar de plecs, la figura no es doblarà en un pla. Per tant, supongam que un patró de plecs consistix en $2n$ llínees, i siguen ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{2n}$ els ànguls consecutius entre els plecs al voltant del vèrtiç, en el sentit de les agulles del rellonge, escomençant per un plec qualsevol. Llavors, la teorema de Kawasaki afirma que el patró es pot dobrlar en un pla si i només si la suma i resta alternada dels ànguls dona zero:

${\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3-\dots +{\alpha }_{2n-1}-{\alpha }_{2n}=0$

Una manera equivalent d'enunciar lo mateix és que, si els ànguls es partixen en dos conjunts alternats, llavors la suma dels ànguls en cada u dels conjunts és exactament $180^{\circ }$. No obstant, esta forma equivalent només és vàlida per a un full pla de paper, mentres que la condició de la suma alternada seguix sent vàlida per a patrons de plecs en fulls de paper còniques en defecte angular no nul en el vèrtiç.

Demostració

Necessitat

Per a demostrar que la condició de Kawasaki és necessària per a qualsevol figura doblada plana, és suficient observar que, en cada plec, l'orientació del paper s'invertix. Per tant, si el primer plec de la figura doblada es coloca sobre un eix $x$, el segon tindrà que estar rotado respecte al primer un àngul ${\alpha }_1$, el tercer, un àngul ${\alpha }_1-{\alpha }_2$ (perque el segon àngul té una orientació oposta al primer), i aixina successivament. Despuix de tots els plecs, el paper deu tornar a a on va escomençar para es junten els extrems del mateix. És dir, l'àngul total girat (${\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3-\dots +{\alpha }_{2n-1}-{\alpha }_{2n}$) deu ser nul, que és la condició a la que volíem aplegar.

Suficiència

Primera demostració

Vejam ara que la condició és suficient. Per a això, tenim que descriure cóm doblar un patró de plec donat per a que es doble en un pla. Açò és, devem elegir si fem plecs entanque o montanya, i en quina orde. Una forma de fer açò és elegir un número $i$ tal que la suma alternada parcial

${\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3-\dots +{\alpha }_{2i-1}-{\alpha }_{2i}$

siga lo més chicoteta possible. O $i=0$ i la suma parcial és una suma buida que també és nula, o per a alguna elecció no nula de $i$ la suma és negativa. Llavors, doblem el paper en forma d'acordeón, escomençant en l'àngul ${\alpha }_{2i+1}$ i alternant plegues montanya i vall, colocant cada nova solapa de paper baix dels plecs anteriors. En cada pas fins a l'últim plec, un plec acordeón com este mai es intersecará a sí mateixa. L'elecció de $i$ assegura que la primera solapa descolle cap a l'esquerra del restant de paper doblat, permetent que l'últim tros es conecte de nou a ell.$◻$

Demostració alternativa

Vejam una demostració alternativa de la suficiència. Considerem l'àngul més chicotet ${\alpha }_i$ i els dos plecs que hi ha als seus costats. Pleguem un d'ells en montanya i l'atre en vall, elegint el tipo de plec per a cada u arbitrariamente. Llavors, "peguem" la doblez resultant al restant del patró de plecs. El resultat serà un patró de plecs en dos llínees menys, sobre una peça de paper cònica, que encara satisfà la condició de Kawasaki.

En efecte, en haver elegit ${\alpha }_i$ com l'àngul més menut, cap llínea del patró quedarà tapada pel plec fet. Ademés, els ànguls contigus a ${\alpha }_i$ es transformen en un àngul conjunt de tamany ${\alpha }_{i-1}+{\alpha }_{i+1}-{\alpha }_i$, puix ${\alpha }_i$ s'ha doblat sobre un dels dos. Per tant, mentres que la suma d'ànguls de la paritat de $i$ ha perdut un àngul ${\alpha }_i$, els de l'atra paritat, als que pertanyien ${\alpha }_{i-1}$ i ${\alpha }_{i+1}$, han perdut també un àngul ${\alpha }_i$ en agrupar-se estos últims com s'ha dit abans. Com abans de la doblez abdós paritat sumaven un mateix àngul, en perdre les dos ${\alpha }_i$, seguixen sumant lo mateix i, per tant, el patró seguix complint la condició de Kawasaki.

Repetim el procés: elegim l'àngul ${{\alpha }_i}^{\prime }$ més chicotet d'entre els que queden, fem els dos plecs ya descrits i obtenim el con en dos llínees menys que seguix complint la condició de Kawasaki. Fent açò successivament, acabarem aplegant al següent case base, que sabem resoldre: un con en dos llínees que determinen dos ànguls iguals, que es pot doblar en un pla trivialmente fent un plec montanya (o un plec entanque) en cada una. Llavors, per inducció matemàtica, per este procés, podem transformar qualsevol patró en la condició de Kawasaki en un plec pla.$◻$

Corolari: cota inferior del número de formes de plegar un patró

L'anterior demostració alternativa permet contar quàntes maneres hi ha de doblar el patró en un pla. En efecte, en cada pas (elecció de

${\alpha }_i$

) podem elegir entre dos opcions: fer un plec entanque i l'atre montanya, o viceversa. Per a un patró en

$2n$

llínees, com a cada pas eliminem dos, tenim que fer esta elecció

$n$

voltes. Per tant, per este método hi ha

$2^n$

patrons distints que podem obtindre. No obstant, és possible que hi haguera uns atres plegats plans que no anaren obtenibles per mig d'este método. Per tant, lo que podem afirmar és que,

Per a un patró de

$2n$

plecs al voltant d'un vèrtiç que complixca la condició de Kawasaki hi ha, per lo manco,

$2^n$

plegats plans possibles.