Teorema de Pohlke

La teorema de Pohlke constituïx el principi fonamental de la perspectiva axonomètrica. Va ser establit en 1853 pel pintor i mestre de geometria descriptiva alemà Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876). La primera prova de la teorema va ser publicada en 1864 pel matemàtic alemà Hermann Amandus Schwarz, qui va anar alumne de Pohlke. Per lo tant, la teorema a voltes es denomina també teorema de Pohlke i Schwarz.

Teorema

Archiu:Axonom-pohlke.svg

Teorema de Pohlke

Tres segments de recta arbitraris $\overline{O} \overline{U}, \overline{O} \overline{V}, \overline{O} \overline{W}$ en un pla en orige comú en el punt $\overline{O}$ , que no estiguen continguts en la mateixa recta, poden considerar-se com la proyecció paralela de tres arestes $O U, O V, O W$ d'un gaveta.

Per a establir la correspondència en una gaveta d'aresta unitat, es té que aplicar una escala adicional, ya siga en l'espai o en el pla. Degut a que una proyecció paralela i una escala preserven les proporcions, es pot assignar un punt arbitrari $P = (x, y, z)$ per mig del procediment axonomètric descrit més alvance.

La teorema de Pohlke es pot expressar en térmens d'àlgebra llineal com:

Qualsevol transformació afí de l'espai tridimensional en un pla pot considerar-se com la composició d'un semblança i una proyecció paralela.^[1]

Aplicació a la axonometría

Archiu:Axonom-def.svg

Principi de la proyecció axonomètrica

La teorema de Pohlke és la justificació del següent simple procediment per a construir una proyecció paralela escalada d'un objecte tridimensional, utilisant les seues coordenades:^[2]^[3]

Elijánse les proyeccions dels eixos de coordenades, no contingudes en una mateixa recta.
Elegir per als eixos de coordenades les acurtada que es vullga $v_{x}, v_{y}, v_{z} > 0$
L'image $\overline{P}$ d'un punt $P = (x, y, z)$ està determinada pels tres passos següents, començant en el punt $\overline{O}$ :

Alvançar

(v_{x} \cdot x)

en direcció

\overline{x}

Alvançar

(v_{y} \cdot y)

en direcció

\overline{y}

Alvançar

(v_{z} \cdot z)

en direcció

\overline{z}

4. Marcar el punt com

\overline{P}

.

Per a obtindre imàgens sense distorsió, es tenen que elegir coordinadamente els ànguls entre les proyeccions dels tres eixos i les respectives acurtada (vore perspectiva axonomètrica). Per a obtindre una proyecció ortogonal, solament les imàgens dels eixos són lliures i es determinen les acurtada (vore axonometría ortogonal).

Referències

↑ G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra, Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, pp. 297–306.
↑ Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, p.144.
↑ Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5, p.156.

Bibliografia

K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Google Books.)
Schwarz, H. A.: Elementarer Beweis dones Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. Regne Angew. Mates. 63, 309–314, 1864.
Arnold Emch: "Prova de la teorema de Pohlke i les seues generalisacions per afinitat", American Journal of Mathematics, vol. 40, No. 4 (octubre de 1918), pp. 366–374

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Pohlke» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra, Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, pp. 297–306.

[2] Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, p.144.

[3] Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5, p.156.

[1]

[2]

[3]