Teorema de convolución

En matemàtica, la teorema de convolución establix que, baix determinades circumstàncies, la transformada de Fourier d'una convolución és el producte punt a punt (o producte Hadamard) de les transformades. En atres paraules, la convolución en un domini (per eixemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'atre domini (és dir domini espectral).

Sean $f$ i $g$ dos funcions que la seua convolución s'expressa en $f * g$ . (notar que l'asterisc denota convolución en este context, i no multiplicació; a voltes és utilisat també el símbol $\otimes$ ). Siga $ℱ$ l'operador de la transformada de Fourier, en lo que $ℱ [f]$ i $ℱ [g]$ són les transformades de Fourier de f i g, respectivament.

Llavors

ℱ [f * g] = \sqrt{2 π} (ℱ [f]) \cdot (ℱ [g])

a on · indica producte punt a punt. També pot afirmar-se que:

ℱ [f \cdot g] = \frac{ℱ [f] * ℱ [g]}{\sqrt{2 π}}

Aplicant la transformada inversa de Fourier $ℱ^{- 1}$ , podem escriure:

f * g = \sqrt{2 π} ℱ^{- 1} [ℱ [f] \cdot ℱ [g]]

Demostració

La demostració funciona per a normalisació unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, pero en la versió unitària té factors extres de $\sqrt{2 π}$ que són inconvenients ací. Sean $f, g \in L^{1} (ℝ^{n})$

Sean $F$ la transformada de Fourier de $f$ i $G$ la transformada de Fourier de $g$ :

F (ω) = \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ω} d x

G (ω) = \int_{ℝ^{n}} g (x) e^{- 2 π i x \cdot ω} d x

.

Siga $h$ la convolución de $f$ i $g$

h (z) = \int_{ℝ^{n}} f (x) g (z - x) d x .

Note's que

\int \int | f (z) g (x - z) | d x d z = \int | f (z) | \int | g (z - x) | d x d z = \int | f (z) | ‖ g ‖_{1} d z = ‖ f ‖_{1} ‖ g ‖_{1} .

Del teorema de Fubini tenim que $h \in L^{1} (ℝ^{n})$ , aixina que la seua transformada de Fourier està definida. Siga $H$ la transformada de Fourier de $h$ :

H (ω) = \int_{ℝ^{n}} h (z) e^{- 2 π i z \cdot ω} d z = \int_{ℝ^{n}} \int_{ℝ^{n}} f (x) g (z - x) d x e^{- 2 π i z \cdot ω} d z .

Observe's que $| f (x) g (z - x) e^{- 2 π i z \cdot ω} | = | f (x) g (z - x) |$ i gràcies a l'argument de dalt podem aplicar novament la teorema de Fubini:

H (ω) = \int_{ℝ^{n}} f (x) (\int_{ℝ^{n}} g (z - x) e^{- 2 π i z \cdot ω} d z) d x .

Substituint $y = z - x$ ; tenim $d y = d z$ , i per lo tant:

H (ω) = \int_{ℝ^{n}} f (x) (\int_{ℝ^{n}} g (y) e^{- 2 π i (y + x) \cdot ω} d y) d x

= \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ω} (\int_{ℝ^{n}} g (y) e^{- 2 π i y \cdot ω} d y) d x

= \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ω} d x \int_{ℝ^{n}} g (y) e^{- 2 π i y \cdot ω} d y .

Estes dos integrals són les definicions de $F (ω)$ i $G (ω)$ , aixina que:

H (ω) = F (ω) \cdot G (ω) .

Que és lo que volíem demostrar.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de convolución» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.