Teorema de la mija geomètrica

Àrea del quadrat grisa = Àrea del rectàngul gris: $h^2=pq\iff h=\sqrt{pq}$

La teorema de l'altura d'un triàngul rectàngul o la teorema de la mija geomètrica és el resultat d'una propietat geomètrica elemental, que descriu la relació entre les llongituts en un triàngul rectàngul de l'altura perpendicular a la hipotenusa i dels dos segments en els que subdivide a l'hipotenusa. Establix que la mija geomètrica dels dos segments és igual a l'altura.

Teorema i aplicació

Si h denota l'altura d'un triàngul rectàngul perpendicular a l'hipotenusa, i p i q els segments en els que dividix a hipotenusa, llavors la teorema pot expressar-se com:

$h=\sqrt{pq}$

o en térmens d'àrees:

$h^2=pq.$

L'última fòrmula permet obtindre un método per a determinar la quadratura d'un rectàngul utilisant regla i compàs, és dir, possibilita construir un quadrat d'igual àrea que un rectàngul donat. Siga un rectàngul en costats donats p i q, que el seu vèrtiç superior esquerre es denomina D. A continuació, s'estén el segment q a la seua esquerra en una llongitut p (usant l'arc AE centrat en D) i es dibuixa un semicírcul en els punts finals A i B; i en el nou segmente p + q com el seu diàmetro. Es traça una llínea perpendicular al diàmetro en D, que interseca el semicírcul en C. Pel teorema de Thales, C i el diàmetro formen un triàngul rectàngul en el segment de llínea DC com la seua altura, i per lo tant, DC és el costat d'un quadrat en l'àrea del rectàngul. El método també permet la construcció de raïls quadrades (vore número construible), ya que començant en un rectàngul que tinga un costat de llongitut 1, el quadrat construït tindrà una llongitut lateral que és igual a la raïl quadrada de la llongitut del rectàngul.

Archiu:Sehnensatz hoehensatz.svg

Teorema de la mija geomètrica com un cas especial del teorema de les cordes secantes:
$|CD||DE|=|AD||DB|\iff h^2=pq$

L'afirmació inversa també és certa: qualsevol triàngul, en el que l'altura és igual a la mija geomètrica dels dos segments de llínea creats per ell, és un triàngul rectàngul.

La teorema de la mija geomètrica també pot considerar-se com un cas especial del teorema de les cordes secantes per a un círcul, ya que l'invers del teorema de Thales assegura que l'hipotenusa del triàngul rectàngul és el diàmetro del seu circuncírculo.

Històricament, la teorema s'atribuïx a Euclides (ca. 360-280 a. C.), qui ho va declarar com a corolari de la proposició 8 en el llibre VI dels seus Elements. En la proposició 14 del llibre II, Euclides dona un método per a quadrar un rectàngul, que essencialment coincidix en el método donat ací. No obstant, proporciona una prova diferent llaugerament més complicada per a verificar la validea de la construcció, en lloc de confiar en la teorema de la mija geomètrica.

Demostració

Basada en la semblança

Archiu:Hoehensatz.svg

Plantilla:Centrar

Demostració de la teorema:

Els triànguls $\mathrm{△}ADC$ i $\mathrm{△}BCD$ són semblants, ya que:

• Consideren-se els triànguls $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}ACD$. Llavors es té que $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADC=90^{\circ }$ i $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }CAD$, i per lo tant, pel postulat AA, $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}ACD$
• Ademés, consideren-se els triànguls $\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}BCD$. Ací es té que $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BDC=90^{\circ }$ i $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }CBD$, i per lo tant, pel postulat AA, llavors $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}BCD$

Per lo tant, abdós triànguls $\mathrm{△}ACD$ i $\mathrm{△}BCD$ són semblants a $\mathrm{△}ABC$ i entre ells, és dir $\mathrm{△}ACD\sim \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}BCD$.

Per esta relació de semblança, s'obté la següent igualtat de raons, que el seu reordenamiento algebraic produïx la teorema:

$\frac{h}{p}=\frac{q}{h}\iff h^2=pq\iff h=\sqrt{pq}(h,p,q>0)$

Prova recíproca:

Quan es té un triàngul $\mathrm{△}ABC$ en el que $h^2=pq$, llavors és necessari demostrar que l'àngul en C és un àngul recte. Ya que $h^2=pq$, també es té que $\frac{h}{p}=\frac{q}{h}$. Junt en la condició de que $\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }CDB$, llavors els triànguls $\mathrm{△}ADC$ i $\mathrm{△}BDC$ tenen un àngul d'igual tamany i tenen parells de costats corresponents en la mateixa proporció. Açò significa que els triànguls són semblants, lo que produïx:

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ACD+\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }ACD+(90^{\circ }-\mathrm{\angle }DBC)=\mathrm{\angle }ACD+(90^{\circ }-\mathrm{\angle }ACD)=90^{\circ }$

Basada en la teorema de Pitágoras

Archiu:Hoehensatz beweis pythagoras.svg

Demostració basada en la teorema de Pitágoras

En la configuració de la teorema de la mija geomètrica hi ha tres triànguls rectànguls $\mathrm{△}ABC$, $\mathrm{△}ADC$ i $\mathrm{△}DBC$, en el que el teorema de Pitágoras produïx:

$h^2=a^2-q^2$, $h^2=b^2-p^2$ i $c^2=a^2+b^2$

Sumant les dos primeres dos equacions, i després considerant la tercera, du a:

$2h^2=a^2+b^2-p^2-q^2=c^2-p^2-q^2=(p+q{)}^2-p^2-q^2=2pq$ .

Una divisió per dos finalment produïx la fòrmula de la teorema de la mija geomètrica.

Basada en dissecció i reordenamiento

Archiu:Geometrischer Höhensatzbeweis.svg

Disseccionar el triàngul rectàngul a lo llarc de la seua altura h produïx dos triànguls semblants (roig i groc), que es poden suplementar (quadrat i rectàngul abdós de color vert) i organisar de dos formes alternatives, component dos triànguls rectànguls de major tamany, en costats perpendiculars de llongituts p+h i q+h en abdós casos. Una d'estes disposicions requerix un quadrat (vert) d'àrea h² per a completar-la, i l'atra necessita un rectàngul (vert) d'àrea pq. Com abdós disposicions produïxen el mateix triàngul, les àrees del quadrat i del rectàngul deuen ser idèntiques.

Basada en aplicacions de cort

El quadrat de l'altitut es pot transformar en un rectàngul d'igual àrea en costats p i q en l'ajuda de tres aplicacions de tall (les aplicacions de tall preserven l'àrea):

Archiu:Scherungen alle2.svg

Les transformacions de tall en les seues rectes fixes associades (punteadas). Començant en el quadrat original com a primera image, cada paralelogramo mostra l'image d'una aplicació de tall sobre la figura situada a la seua esquerra